Mathematik

Beispiele für Z-Score-Berechnungen

Eine Art von Problem, die in einem Einführungskurs in die Statistik typisch ist, besteht darin, den Z-Score für einen bestimmten Wert einer normalverteilten Variablen zu ermitteln. Nachdem wir die Gründe dafür angegeben haben, werden wir einige Beispiele für die Durchführung dieser Art von Berechnung sehen.

 

Grund für Z-Scores

Es gibt unendlich viele Normalverteilungen. Es gibt eine einzige Standardnormalverteilung. Das Ziel der Berechnung eines z – Scores besteht darin, eine bestimmte Normalverteilung mit der Standardnormalverteilung in Beziehung zu setzen. Die Standardnormalverteilung wurde gut untersucht, und es gibt Tabellen, die Bereiche unter der Kurve enthalten, die wir dann für Anwendungen verwenden können.

Aufgrund dieser universellen Verwendung der Standardnormalverteilung wird es zu einem lohnenden Unterfangen, eine Normalvariable zu standardisieren. Alles, was dieser Z-Score bedeutet, ist die Anzahl der Standardabweichungen, die wir vom Mittelwert unserer Verteilung entfernt sind.

 

Formel

Die Formel. die wir verwenden werden, lautet wie folgt: z=( x – μ) / σ

Die Beschreibung jedes Teils der Formel lautet:

  • x ist der Wert unserer Variablen
  • μ ist der Wert unseres Populationsmittelwerts.
  • σ ist der Wert der Populationsstandardabweichung.
  • z ist die z- Punktzahl.

 

Beispiele

Wir werden nun einige Beispiele betrachten, die die Verwendung der Z- Score-Formel veranschaulichen. Angenommen, wir kennen eine Population einer bestimmten Katzenrasse mit normalverteilten Gewichten. Angenommen, wir wissen, dass der Mittelwert der Verteilung 10 Pfund und die Standardabweichung 2 Pfund beträgt. Betrachten Sie die folgenden Fragen:

  1. Was ist der Z- Wert für 13 Pfund?
  2. Was ist der Z- Wert für 6 Pfund?
  3. Wie viele Pfund entsprechen einem Z- Wert von 1,25?

Bei der ersten Frage fügen wir einfach x=13 in unsere Z- Score-Formel ein. Das Ergebnis ist:

(13 – 10) / 2=1,5

Dies bedeutet, dass 13 eineinhalb Standardabweichungen über dem Mittelwert liegen.

Die zweite Frage ist ähnlich. Stecken Sie einfach x=6 in unsere Formel. Das Ergebnis dafür ist:

(6 – 10) / 2=-2

Die Interpretation davon ist, dass 6 zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.

Für die letzte Frage kennen wir jetzt unseren Z- Score. Für dieses Problem fügen wir z=1,25 in die Formel ein und lösen mithilfe der Algebra nach x :

1,25=( x – 10) / 2

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2:

2,5=( x – 10)

Fügen Sie 10 zu beiden Seiten hinzu:

12,5=x

Und so sehen wir, dass 12,5 Pfund einem z- Wert von 1,25 entsprechen.

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