Mathematik

Beispiele für Konfidenzintervalle für Mittelwerte

Einer der Hauptbestandteile der Inferenzstatistik ist die Entwicklung von Methoden zur Berechnung von Konfidenzintervallen. Konfidenzintervalle bietet uns eine Möglichkeit , um eine Population zu schätzen Parameter. Anstatt zu sagen, dass der Parameter einem exakten Wert entspricht, sagen wir, dass der Parameter in einen Wertebereich fällt. Dieser Wertebereich ist normalerweise eine Schätzung zusammen mit einer Fehlerquote, die wir zur Schätzung addieren und von dieser subtrahieren.

Mit jedem Intervall ist ein gewisses Maß an Vertrauen verbunden. Das Konfidenzniveau gibt an, wie oft auf lange Sicht die Methode zur Ermittlung unseres Konfidenzintervalls den wahren Populationsparameter erfasst.

Wenn Sie sich mit Statistiken vertraut machen, ist es hilfreich, einige Beispiele zu sehen, die ausgearbeitet wurden. Im Folgenden werden einige Beispiele für Konfidenzintervalle zu einem Populationsmittelwert betrachtet. Wir werden sehen, dass die Methode, mit der wir ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert erstellen, von weiteren Informationen über unsere Bevölkerung abhängt. Insbesondere hängt der Ansatz davon ab, ob wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit kennen oder nicht.

 

Problemstellung

Wir beginnen mit einer einfachen Zufallsstichprobe von 25 einer bestimmten Molchart und messen ihre Schwänze. Die mittlere Schwanzlänge unserer Probe beträgt 5 cm.

  1. Wenn wir wissen, dass 0,2 cm die Standardabweichung der Schwanzlängen aller Molche in der Population ist, was ist dann ein 90% -Konfidenzintervall für die mittlere Schwanzlänge aller Molche in der Population?
  2. Wenn wir wissen, dass 0,2 cm die Standardabweichung der Schwanzlängen aller Molche in der Population ist, was ist dann ein 95% -Konfidenzintervall für die mittlere Schwanzlänge aller Molche in der Population?
  3. Wenn wir feststellen, dass 0,2 cm die Standardabweichung der Schwanzlängen der Molche in unserer Stichprobe der Population ist, was ist dann ein 90% -Konfidenzintervall für die mittlere Schwanzlänge aller Molche in der Population?
  4. Wenn wir feststellen, dass 0,2 cm die Standardabweichung der Schwanzlängen der Molche in unserer Stichprobe der Population ist, was ist dann ein 95% -Konfidenzintervall für die mittlere Schwanzlänge aller Molche in der Population?

 

Diskussion der Probleme

Wir beginnen mit der Analyse jedes dieser Probleme. In den ersten beiden Problemen kennen wir den Wert der Populationsstandardabweichung. Der Unterschied zwischen diesen beiden Problemen besteht darin, dass das Vertrauensniveau in # 2 größer ist als in # 1.

In den zweiten beiden Problemen ist die Populationsstandardabweichung unbekannt. Für diese beiden Probleme werden wir diesen Parameter mit der Standardabweichung der Stichprobe schätzen . Wie wir in den ersten beiden Problemen gesehen haben, haben wir auch hier unterschiedliche Vertrauensniveaus.

 

Lösungen

Wir werden Lösungen für jedes der oben genannten Probleme berechnen.

    1. Da wir die Populationsstandardabweichung kennen, verwenden wir eine Tabelle mit Z-Scores. Der Wert von z , der einem 90% -Konfidenzintervall entspricht, beträgt 1,645. Unter Verwendung der Formel für die Fehlergrenze haben wir ein Konfidenzintervall von 5 – 1,645 (0,2 / 5) bis 5 + 1,645 (0,2 / 5). (Die 5 im Nenner hier ist, weil wir die Quadratwurzel von 25 genommen haben). Nach Durchführung der Arithmetik haben wir 4,934 cm bis 5,066 cm als Konfidenzintervall für den Populationsmittelwert.
    2. Da wir die Populationsstandardabweichung kennen, verwenden wir eine Tabelle mit Z-Scores. Der Wert von z , der einem 95% -Konfidenzintervall entspricht, beträgt 1,96. Unter Verwendung der Formel für die Fehlergrenze haben wir ein Konfidenzintervall von 5 – 1,96 (0,2 / 5) bis 5 + 1,96 (0,2 / 5). Nach Durchführung der Arithmetik haben wir 4,922 cm bis 5,078 cm als Konfidenzintervall für den Populationsmittelwert.
    3. Hier kennen wir nicht die Populationsstandardabweichung, sondern nur die Stichprobenstandardabweichung. Daher werden wir eine Tabelle mit t-Scores verwenden. Wenn wir eine Tabelle mit t- Werten verwenden, müssen wir wissen, wie viele Freiheitsgrade wir haben. In diesem Fall gibt es 24 Freiheitsgrade, was einer weniger als die Stichprobengröße von 25 ist. Der Wert von t , der einem 90% -Konfidenzintervall entspricht, beträgt 1,71. Unter Verwendung der Formel für die Fehlergrenze haben wir ein Konfidenzintervall von 5 – 1,71 (0,2 / 5) bis 5 + 1,71 (0,2 / 5). Nach Durchführung der Arithmetik haben wir 4,932 cm bis 5,068 cm als Konfidenzintervall für den Populationsmittelwert.

 

  1. Hier kennen wir nicht die Populationsstandardabweichung, sondern nur die Stichprobenstandardabweichung. Daher werden wir wieder eine Tabelle mit t-Scores verwenden. Es gibt 24 Freiheitsgrade, was einem weniger als der Stichprobengröße von 25 entspricht. Der Wert von t , der einem 95% -Konfidenzintervall entspricht, beträgt 2,06. Unter Verwendung der Formel für die Fehlergrenze haben wir ein Konfidenzintervall von 5 – 2,06 (0,2 / 5) bis 5 + 2,06 (0,2 / 5). Nach Durchführung der Arithmetik haben wir 4,912 cm bis 5,082 cm als Konfidenzintervall für den Populationsmittelwert.

 

Diskussion der Lösungen

Beim Vergleich dieser Lösungen sind einige Dinge zu beachten. Das erste ist, dass in jedem Fall mit zunehmendem Vertrauensniveau der Wert von z oder t , mit dem wir endeten, umso größer ist . Der Grund dafür ist, dass wir ein größeres Intervall benötigen, um sicherer zu sein, dass wir tatsächlich den Bevölkerungsdurchschnitt in unserem Konfidenzintervall erfasst haben.

Das andere zu beachtende Merkmal ist, dass für ein bestimmtes Konfidenzintervall diejenigen, die t verwenden, breiter sind als diejenigen mit z . Der Grund dafür ist, dass eine t- Verteilung eine größere Variabilität in ihren Schwänzen aufweist als eine Standardnormalverteilung.

Der Schlüssel zur Korrektur von Lösungen dieser Art von Problemen besteht darin, dass wir, wenn wir die Populationsstandardabweichung kennen, eine Tabelle mit Z- Punkten verwenden. Wenn wir die Populationsstandardabweichung nicht kennen, verwenden wir eine Tabelle mit t- Werten.

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