Mathematik

Beispiel eines Permutationstests

Beispiel eines Permutationstests

Eine Frage, die in der Statistik immer gestellt werden muss, lautet: „Ist das beobachtete Ergebnis nur zufällig oder statistisch signifikant ?“ Eine Klasse von Hypothesentests. Permutationstests genannt, ermöglicht es uns, diese Frage zu testen. Die Übersicht und die Schritte eines solchen Tests sind:

  • Wir teilten unsere Probanden in eine Kontroll- und eine Versuchsgruppe auf. Die Nullhypothese ist, dass es keinen Unterschied zwischen diesen beiden Gruppen gibt.
  • Wenden Sie eine Behandlung auf die Versuchsgruppe an.
  • Messen Sie das Ansprechen auf die Behandlung
  • Berücksichtigen Sie jede mögliche Konfiguration der Versuchsgruppe und die beobachtete Reaktion.
  • Berechnen Sie einen p-Wert basierend auf unserer beobachteten Reaktion in Bezug auf alle potenziellen Versuchsgruppen.

Dies ist ein Überblick über eine Permutation. Um diesen Umriss zu verdeutlichen, werden wir uns ein detailliertes Beispiel für einen solchen Permutationstest genauer ansehen.

 

Beispiel

Angenommen, wir untersuchen Mäuse. Insbesondere interessiert uns, wie schnell die Mäuse ein Labyrinth beenden, dem sie noch nie begegnet sind. Wir möchten Beweise für eine experimentelle Behandlung vorlegen. Ziel ist es zu zeigen, dass Mäuse in der Behandlungsgruppe das Labyrinth schneller lösen als unbehandelte Mäuse.

Wir beginnen mit unseren Themen: sechs Mäuse. Der Einfachheit halber werden die Mäuse mit den Buchstaben A, B, C, D, E, F bezeichnet. Drei dieser Mäuse sind zufällig für die experimentelle Behandlung auszuwählen, und die anderen drei werden in eine Kontrollgruppe eingeteilt, in der Die Probanden erhalten ein Placebo.

Wir werden als nächstes zufällig die Reihenfolge auswählen, in der die Mäuse ausgewählt werden, um das Labyrinth auszuführen. Die Zeit, die für die Fertigstellung des Labyrinths für alle Mäuse aufgewendet wurde, wird notiert und ein Mittelwert jeder Gruppe wird berechnet.

Angenommen, unsere zufällige Auswahl hat Mäuse A, C und E in der Versuchsgruppe, die anderen Mäuse in der Placebo- Kontrollgruppe. Nachdem die Behandlung durchgeführt wurde, wählen wir zufällig die Reihenfolge, in der die Mäuse durch das Labyrinth laufen.

Die Laufzeiten für jede der Mäuse sind:

  • Maus A führt das Rennen in 10 Sekunden aus
  • Maus B führt das Rennen in 12 Sekunden aus
  • Maus C führt das Rennen in 9 Sekunden aus
  • Maus D läuft das Rennen in 11 Sekunden
  • Maus E führt das Rennen in 11 Sekunden aus
  • Maus F führt das Rennen in 13 Sekunden aus.

Die durchschnittliche Zeit, um das Labyrinth für die Mäuse in der Versuchsgruppe fertigzustellen, beträgt 10 Sekunden. Die durchschnittliche Zeit für die Fertigstellung des Labyrinths in der Kontrollgruppe beträgt 12 Sekunden.

Wir könnten ein paar Fragen stellen. Ist die Behandlung wirklich der Grund für die schnellere Durchschnittszeit? Oder hatten wir einfach Glück bei der Auswahl der Kontroll- und Versuchsgruppe? Die Behandlung hatte möglicherweise keine Wirkung und wir wählten zufällig die langsameren Mäuse aus, um das Placebo zu erhalten, und die schnelleren Mäuse, um die Behandlung zu erhalten. Ein Permutationstest hilft bei der Beantwortung dieser Fragen.

 

Hypothesen

Die Hypothesen für unseren Permutationstest sind:

  • Die Nullhypothese ist die Aussage ohne Wirkung. Für diesen speziellen Test haben wir H 0 : Es gibt keinen Unterschied zwischen den Behandlungsgruppen. Die mittlere Zeit, um das Labyrinth für alle Mäuse ohne Behandlung zu betreiben, ist die gleiche wie die mittlere Zeit für alle Mäuse mit der Behandlung.
  • Die alternative Hypothese ist das, wofür wir Beweise aufstellen wollen. In diesem Fall hätten wir H a : Die mittlere Zeit für alle Mäuse mit der Behandlung ist schneller als die mittlere Zeit für alle Mäuse ohne die Behandlung.

 

Permutationen

Es gibt sechs Mäuse und drei Plätze in der Versuchsgruppe. Dies bedeutet, dass die Anzahl möglicher Versuchsgruppen durch die Anzahl der Kombinationen C (6,3)=6! / (3! 3!)=20 gegeben ist. Die verbleibenden Individuen wären Teil der Kontrollgruppe. Es gibt also 20 verschiedene Möglichkeiten, Personen in unseren beiden Gruppen zufällig auszuwählen.

Die Zuordnung von A, C und E zur Versuchsgruppe erfolgte zufällig. Da es 20 solcher Konfigurationen gibt, hat die spezifische mit A, C und E in der Versuchsgruppe eine Wahrscheinlichkeit von 1/20=5% des Auftretens.

Wir müssen alle 20 Konfigurationen der Versuchsgruppe der Individuen in unserer Studie bestimmen.

    1. Versuchsgruppe: ABC und Kontrollgruppe: DEF
    2. Versuchsgruppe: ABD und Kontrollgruppe: CEF
    3. Versuchsgruppe: ABE und Kontrollgruppe: CDF
    4. Versuchsgruppe: ABF und Kontrollgruppe: CDE
    5. Versuchsgruppe: ACD und Kontrollgruppe: BEF
    6. Versuchsgruppe: ACE und Kontrollgruppe: BDF
    7. Versuchsgruppe: ACF und Kontrollgruppe: BDE
    8. Versuchsgruppe: ADE und Kontrollgruppe: BCF
    9. Versuchsgruppe: ADF und Kontrollgruppe: BCE
    10. Versuchsgruppe: AEF und Kontrollgruppe: BCD
    11. Versuchsgruppe: BCD und Kontrollgruppe: AEF
    12. Versuchsgruppe: BCE und Kontrollgruppe: ADF
    13. Versuchsgruppe: BCF und Kontrollgruppe: ADE
    14. Versuchsgruppe: BDE und Kontrollgruppe: ACF
    15. Versuchsgruppe: BDF und Kontrollgruppe: ACE
    16. Versuchsgruppe: BEF und Kontrollgruppe: ACD
    17. Versuchsgruppe: CDE und Kontrollgruppe: ABF
    18. Versuchsgruppe: CDF und Kontrollgruppe: ABE
    19. Versuchsgruppe: CEF und Kontrollgruppe: ABD
    20. Versuchsgruppe: DEF und Kontrollgruppe: ABC

 

Wir betrachten dann jede Konfiguration von Versuchsgruppen und Kontrollgruppen. Wir berechnen den Mittelwert für jede der 20 Permutationen in der obigen Auflistung. Zum Beispiel haben A, B und C zum ersten Mal Zeiten von 10, 12 bzw. 9. Der Mittelwert dieser drei Zahlen beträgt 10,3333. Auch in dieser ersten Permutation haben D, E und F Zeiten von 11, 11 bzw. 13. Dies hat einen Durchschnitt von 11,6666.

Nach der Berechnung des Mittelwerts jeder Gruppe berechnen wir die Differenz zwischen diesen Mittelwerten. Jede der folgenden Angaben entspricht dem Unterschied zwischen der oben aufgeführten Versuchsgruppe und der Kontrollgruppe.

  1. Placebo – Behandlung=1,333333333 Sekunden
  2. Placebo – Behandlung=0 Sekunden
  3. Placebo – Behandlung=0 Sekunden
  4. Placebo – Behandlung=-1,3333333333 Sekunden
  5. Placebo – Behandlung=2 Sekunden
  6. Placebo – Behandlung=2 Sekunden
  7. Placebo – Behandlung=0,666666667 Sekunden
  8. Placebo – Behandlung=0,666666667 Sekunden
  9. Placebo – Behandlung=-0,666666667 Sekunden
  10. Placebo – Behandlung=-0,666666667 Sekunden
  11. Placebo – Behandlung=0,666666667 Sekunden
  12. Placebo – Behandlung=0,666666667 Sekunden
  13. Placebo – Behandlung=-0,666666667 Sekunden
  14. Placebo – Behandlung=-0,666666667 Sekunden
  15. Placebo – Behandlung=-2 Sekunden
  16. Placebo – Behandlung=-2 Sekunden
  17. Placebo – Behandlung=1,333333333 Sekunden
  18. Placebo – Behandlung=0 Sekunden
  19. Placebo – Behandlung=0 Sekunden
  20. Placebo – Behandlung=-1,3333333333 Sekunden

 

P-Wert

Nun ordnen wir die Unterschiede zwischen den Mitteln aus jeder Gruppe, die wir oben notiert haben. Wir tabellieren auch den Prozentsatz unserer 20 verschiedenen Konfigurationen, die durch jeden Mittelwertunterschied dargestellt werden. Zum Beispiel hatten vier der 20 keinen Unterschied zwischen den Mitteln der Kontroll- und der Behandlungsgruppe. Dies macht 20% der 20 oben genannten Konfigurationen aus.

  • -2 für 10%
  • -1,33 für 10%
  • -0,667 für 20%
  • 0 für 20%
  • 0,667 für 20%
  • 1,33 für 10%
  • 2 für 10%.

Hier vergleichen wir diese Auflistung mit unserem beobachteten Ergebnis. Unsere zufällige Auswahl von Mäusen für die Behandlungs- und Kontrollgruppe ergab eine durchschnittliche Differenz von 2 Sekunden. Wir sehen auch, dass dieser Unterschied 10% aller möglichen Proben entspricht. Das Ergebnis ist, dass wir für diese Studie einen p-Wert von 10% haben.

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