Mathematik

Was ist die leere Menge in der Mengenlehre?

Wann kann nichts etwas sein? Es scheint eine dumme Frage zu sein und ziemlich paradox. Im mathematischen Bereich der Mengenlehre ist es Routine, dass nichts etwas anderes als nichts ist. Wie kann das sein?

Wenn wir eine Menge ohne Elemente bilden, haben wir nichts mehr. Wir haben ein Set mit nichts drin. Es gibt einen speziellen Namen für die Menge, der keine Elemente enthält. Dies wird als leere oder Nullmenge bezeichnet.

 

Ein subtiler Unterschied

Die Definition der leeren Menge ist ziemlich subtil und erfordert ein wenig Nachdenken. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir eine Menge als eine Sammlung von Elementen betrachten. Das Set selbst unterscheidet sich von den darin enthaltenen Elementen.

Zum Beispiel werden wir uns {5} ansehen, eine Menge, die das Element 5 enthält. Die Menge {5} ist keine Zahl. Es ist eine Menge mit der Zahl 5 als Element, während 5 eine Zahl ist.

In ähnlicher Weise ist die leere Menge nicht nichts. Stattdessen ist es die Menge ohne Elemente. Es ist hilfreich, sich Sets als Container vorzustellen, und die Elemente sind die Dinge, die wir in sie einfügen. Ein leerer Container ist immer noch ein Container und entspricht dem leeren Satz.

 

Die Einzigartigkeit des leeren Sets

Die leere Menge ist eindeutig, weshalb es durchaus angebracht ist, über die leere Menge und nicht über eine leere Menge zu sprechen . Dies unterscheidet den leeren Satz von anderen Sätzen. Es gibt unendlich viele Mengen mit einem Element. Die Mengen {a}, {1}, {b} und {123} haben jeweils ein Element und sind daher einander äquivalent. Da sich die Elemente selbst voneinander unterscheiden, sind die Mengen nicht gleich.

Es ist nichts Besonderes an den obigen Beispielen, die jeweils ein Element haben. Mit einer Ausnahme gibt es für jede Zählzahl oder Unendlichkeit unendlich viele Sätze dieser Größe. Die Ausnahme ist für die Zahl Null. Es gibt nur eine Menge, die leere Menge, ohne Elemente.

Der mathematische Beweis dieser Tatsache ist nicht schwierig. Wir nehmen zunächst an, dass die leere Menge nicht eindeutig ist, dass zwei Mengen keine Elemente enthalten, und verwenden dann einige Eigenschaften aus der Mengenlehre, um zu zeigen, dass diese Annahme einen Widerspruch impliziert.

 

Notation und Terminologie für den leeren Satz

Die leere Menge wird mit dem Symbol ∅ bezeichnet, das von einem ähnlichen Symbol im dänischen Alphabet stammt. Einige Bücher beziehen sich auf die leere Menge mit dem alternativen Namen null set.

 

Eigenschaften des leeren Satzes

Da es nur eine leere Menge gibt, lohnt es sich zu sehen, was passiert, wenn die Mengenoperationen von Schnittmenge, Vereinigung und Komplement mit der leeren Menge und einer allgemeinen Menge verwendet werden, die wir mit X bezeichnen werden . Es ist auch interessant, eine Teilmenge der leeren Menge zu betrachten und wann die leere Menge eine Teilmenge ist. Diese Fakten werden unten gesammelt:

  • Der Schnittpunkt einer Menge mit der leeren Menge ist die leere Menge. Dies liegt daran, dass die leere Menge keine Elemente enthält und die beiden Mengen daher keine gemeinsamen Elemente haben. In Symbolen schreiben wir X ∩ ∅=∅.
  • Die Vereinigung eines Satzes mit dem leeren Satz ist der Satz, mit dem wir begonnen haben. Dies liegt daran, dass die leere Menge keine Elemente enthält und wir daher der anderen Menge keine Elemente hinzufügen, wenn wir die Vereinigung bilden. In Symbolen, schreiben wir X U ∅=X .
  • Das Komplement der leeren Menge ist die universelle Menge für die Einstellung, in der wir arbeiten. Dies liegt daran, dass die Menge aller Elemente, die nicht in der leeren Menge enthalten sind, nur die Menge aller Elemente ist.
  • Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge. Dies liegt daran, dass wir Teilmengen einer Menge X bilden, indem wir Elemente aus X auswählen (oder nicht auswählen) . Eine Option für eine Teilmenge besteht darin, überhaupt keine Elemente von X zu verwenden . Dies gibt uns die leere Menge.

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