Mathematik

Was ist der Unterschied zwischen zwei Mengen in der Mengenlehre?

Die Differenz zweier Mengen, geschrieben von AB, ist die Menge aller Elemente von A , die keine Elemente von B sind . Die Differenzoperation ist zusammen mit Vereinigung und Schnittmenge eine wichtige und grundlegende Operation der Mengenlehre .

 

Beschreibung des Unterschieds

Die Subtraktion einer Zahl von einer anderen kann auf viele verschiedene Arten betrachtet werden. Ein Modell, das zum Verständnis dieses Konzepts beiträgt, ist das Modell der Subtraktion zum Mitnehmen . In diesem Fall würde das Problem 5 – 2=3 demonstriert, indem mit fünf Objekten begonnen wird, zwei davon entfernt werden und gezählt wird, dass noch drei übrig sind. In ähnlicher Weise, wie wir den Unterschied zwischen zwei Zahlen finden, können wir den Unterschied zwischen zwei Mengen finden.

 

Ein Beispiel

Wir werden uns ein Beispiel für den eingestellten Unterschied ansehen. Um zu sehen, wie die Differenz zweier Mengen eine neue Menge bildet, betrachten wir die Mengen A={1, 2, 3, 4, 5} und B={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Um den Unterschied AB dieser beiden Mengen zu finden, schreiben wir zunächst alle Elemente von A und entfernen dann jedes Element von A , das auch ein Element von B ist . Da A die Elemente 3, 4 und 5 mit B teilt , ergibt sich die eingestellte Differenz AB={1, 2}.

 

Bestellung ist wichtig

So wie die Unterschiede 4 – 7 und 7 – 4 uns unterschiedliche Antworten geben, müssen wir vorsichtig sein, in welcher Reihenfolge wir die eingestellte Differenz berechnen. Um einen technischen Begriff aus der Mathematik zu verwenden, würden wir sagen, dass die festgelegte Differenzoperation nicht kommutativ ist. Dies bedeutet, dass wir im Allgemeinen die Reihenfolge der Differenz zweier Mengen nicht ändern können und dasselbe Ergebnis erwarten. Wir können mehr Staat , dass für alle Sätze A und B , AB ungleich ist BA .

Um dies zu sehen, beziehen Sie sich auf das obige Beispiel. Wir haben berechnet, dass für die Mengen A={1, 2, 3, 4, 5} und B={3, 4, 5, 6, 7, 8} die Differenz AB={1, 2} ist. Um dies mit BA zu vergleichen , beginnen wir mit den Elementen von B , die 3, 4, 5, 6, 7, 8 sind, und entfernen dann die 3, 4 und 5, da diese mit A gemeinsam sind . Das Ergebnis ist BA={6, 7, 8}. Dieses Beispiel zeigt deutlich, dass A – B nicht gleich B – A ist .

 

Die Ergänzung

Eine Art von Unterschied ist wichtig genug, um einen eigenen Namen und ein eigenes Symbol zu gewährleisten. Dies wird als Komplement bezeichnet und für die Mengendifferenz verwendet, wenn die erste Menge die universelle Menge ist. Das Komplement von A ist durch den Ausdruck UA gegeben . Dies bezieht sich auf die Menge aller Elemente in der universellen Menge, die keine Elemente von A sind . Da es sich versteht, dass die Menge von Elementen. aus denen wir wählen können, aus der universellen Menge stammt, können wir einfach sagen, dass das Komplement von A die Menge ist, die aus Elementen besteht, die keine Elemente von A sind .

Die Ergänzung einer Menge ist relativ zu der universellen Menge, mit der wir arbeiten. Mit A={1, 2, 3} und U={1, 2, 3, 4, 5} ist das Komplement von A {4, 5}. Wenn unsere universelle Menge unterschiedlich ist, sagen wir U={ -3, -2, 0, 1, 2, 3}, dann das Komplement von A { -3, -2, -1, 0}. Achten Sie immer darauf, welches Universal-Set verwendet wird.

 

Notation für das Komplement

Das Wort „Komplement“ beginnt mit dem Buchstaben C und wird daher in der Notation verwendet. Das Komplement der Menge A wird als A C geschrieben . : So können wir die Definition des Komplementsystems in Symbolen als ausdrücken A C=UA .

Ein anderer Weg, der üblicherweise verwendet wird, um das Komplement einer Menge zu bezeichnen, beinhaltet einen Apostroph und wird als A ‚geschrieben.

 

Andere Identitäten, die den Unterschied und die Ergänzungen betreffen

Es gibt viele festgelegte Identitäten, bei denen die Differenz- und Komplementoperationen verwendet werden. Einige Identitäten kombinieren andere Mengenoperationen wie Schnittpunkt und Vereinigung. Einige der wichtigsten sind unten aufgeführt. Für alle Sätze A und B und D haben wir:

  • AA=∅
  • A – ∅=A.
  • ∅ – A=∅
  • AU=∅
  • ( A C ) C=A.
  • DeMorgansches Gesetz I: ( AB ) C=A CB C.
  • DeMorgansches Gesetz II: ( AB ) C=A CB C.

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