Mathematik

So leiten Sie die Formel für Kombinationen ab

Nachdem man Formeln gesehen hat, die in einem Lehrbuch gedruckt oder von einem Lehrer an die Tafel geschrieben wurden, ist es manchmal überraschend herauszufinden, dass viele dieser Formeln aus einigen grundlegenden Definitionen und sorgfältigen Überlegungen abgeleitet werden können. Dies gilt insbesondere für die Wahrscheinlichkeit, wenn die Formel auf Kombinationen untersucht wird. Die Ableitung dieser Formel beruht wirklich nur auf dem Multiplikationsprinzip.

 

Das Multiplikationsprinzip

Angenommen, es gibt eine Aufgabe zu erledigen, und diese Aufgabe ist in insgesamt zwei Schritte unterteilt. Der erste Schritt kann auf k Arten und der zweite Schritt auf n Arten durchgeführt werden. Dies bedeutet, dass nach dem Multiplizieren dieser Zahlen die Anzahl der Möglichkeiten zur Ausführung der Aufgabe nk beträgt .

Wenn Sie beispielsweise zehn Eissorten und drei verschiedene Beläge zur Auswahl haben, wie viele Schaufeln und einen Eisbecher können Sie dann zubereiten? Multiplizieren Sie drei mit 10, um 30 Eisbecher zu erhalten.

 

Permutationen bilden

Verwenden Sie nun das Multiplikationsprinzip, um die Formel für die Anzahl der Kombinationen von r Elementen aus einer Menge von n Elementen abzuleiten . Es sei P (n, r) die Anzahl der Permutationen von r Elementen aus einer Menge von n und C (n, r) die Anzahl von Kombinationen von r Elementen aus einer Menge von n Elementen.

Überlegen Sie, was passiert, wenn eine Permutation von r Elementen aus insgesamt n gebildet wird . Betrachten Sie dies als einen zweistufigen Prozess. Wählen Sie zunächst eine Menge von r Elementen aus einer Menge von n . Dies ist eine Kombination und es gibt C (n, r) Möglichkeiten, dies zu tun. Der zweite Schritt in diesem Prozess besteht darin, r Elemente mit r Auswahlmöglichkeiten für die erste, r – 1 Auswahlmöglichkeiten für die zweite, r – 2 Auswahlmöglichkeiten für die dritte, 2 Auswahlmöglichkeiten für die vorletzte und 1 Auswahlmöglichkeiten für die letzte zu ordnen . Nach dem Multiplikationsprinzip gibt es r x ( r -1) x. . . x 2 x 1=r ! Möglichkeiten, dies zu tun. Diese Formel wird mit Fakultätsnotation geschrieben .

 

Die Ableitung der Formel

Um P ( n , r ) zusammenzufassen: Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Permutation von r Elementen aus insgesamt n zu bilden, wird bestimmt durch:

  1. Bilden einer Kombination von r Elementen aus insgesamt n auf eine von C ( n , r ) Arten
  2. Bestellen Sie diese r Elemente eines von r ! Wege.

Nach dem Multiplikationsprinzip beträgt die Anzahl der Möglichkeiten zur Bildung einer Permutation P ( n , r )=C ( n , r ) x r !

Unter Verwendung der Formel für Permutationen P ( n , r )=n ! / ( Nr )!, Die in die obige Formel eingesetzt werden kann:

n ! / ( nr )!=C ( n , r ) r !

Lösen Sie nun die Anzahl der Kombinationen C ( n , r ) und sehen Sie, dass C ( n , r )=n ! / [ R ! ( Nr )!].

Wie gezeigt, kann ein wenig Nachdenken und Algebra einen langen Weg gehen. Andere Formeln in Wahrscheinlichkeit und Statistik können ebenfalls mit einigen sorgfältigen Anwendungen von Definitionen abgeleitet werden.

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