Mathematik

Was ist Kalkül? Definition und praktische Anwendungen

Die Analysis ist ein Zweig der Mathematik, in dem die Änderungsraten untersucht werden. Bevor der Kalkül erfunden wurde, war die gesamte Mathematik statisch: Es konnte nur helfen, Objekte zu berechnen, die vollkommen still waren. Aber das Universum bewegt sich ständig und verändert sich. Keine Objekte – von den Sternen im Weltraum bis zu subatomaren Partikeln oder Zellen im Körper – sind immer in Ruhe. In der Tat bewegt sich fast alles im Universum ständig. Mithilfe von Kalkül konnte ermittelt werden, wie sich Partikel, Sterne und Materie in Echtzeit tatsächlich bewegen und ändern.

Kalkül wird in einer Vielzahl von Bereichen verwendet, von denen Sie normalerweise nicht glauben würden, dass sie von ihren Konzepten Gebrauch machen würden. Unter ihnen sind Physik, Ingenieurwesen, Wirtschaft, Statistik und Medizin. Kalkül wird auch in so unterschiedlichen Bereichen wie der Raumfahrt eingesetzt, um zu bestimmen, wie Medikamente mit dem Körper interagieren und sogar wie sicherere Strukturen aufgebaut werden können. Sie werden verstehen, warum Kalkül in so vielen Bereichen nützlich ist, wenn Sie ein wenig über seine Geschichte wissen und wissen, wofür es entwickelt und gemessen werden soll.

Key Takeaways: Fundamentalsatz des Kalküls

  • Kalkül ist das Studium der Änderungsraten.
  • Gottfried Leibniz und Isaac Newton, Mathematiker des 17. Jahrhunderts, erfanden beide unabhängig voneinander die Analysis. Newton hat es zuerst erfunden, aber Leibniz hat die Notationen geschaffen, die Mathematiker heute verwenden.
  • Es gibt zwei Arten von Berechnungen: Die Differentialrechnung bestimmt die Änderungsrate einer Größe, während die Integralrechnung die Größe ermittelt, bei der die Änderungsrate bekannt ist.

 

Wer hat das Kalkül erfunden?

Calculus wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von zwei Mathematikern, Gottfried Leibniz und  Isaac Newton, entwickelt. Newton entwickelte zuerst einen Kalkül und wandte ihn direkt auf das Verständnis physikalischer Systeme an. Unabhängig davon entwickelte Leibniz die im Kalkül verwendeten Notationen. Einfach ausgedrückt, während die grundlegende Mathematik Operationen wie Plus, Minus, Zeiten und Division (+, -, x und ÷) verwendet, verwendet  die Berechnung Operationen, die  Funktionen und Integrale verwenden. um Änderungsraten zu berechnen.

Mit diesen Werkzeugen konnten Newton, Leibniz und andere Mathematiker, die folgten, Dinge wie die genaue Steigung einer Kurve an jedem Punkt berechnen. Die Geschichte der Mathematik  erklärt die Bedeutung von Newtons Grundsatz des Kalküls:

„Im Gegensatz zur statischen Geometrie der Griechen ermöglichte der Kalkül Mathematikern und Ingenieuren, die Bewegung und den dynamischen Wandel in der sich verändernden Welt um uns herum zu verstehen, wie z. B. die Umlaufbahnen von Planeten, die Bewegung von Flüssigkeiten usw.“

Mithilfe von Kalkül konnten Wissenschaftler, Astronomen, Physiker, Mathematiker und Chemiker nun die Umlaufbahn der Planeten und Sterne sowie den Weg der Elektronen und Protonen auf atomarer Ebene kartieren.

 

Differential- vs. Integralrechnung

Es gibt zwei Zweige der Analysis: Differential- und Integralrechnung. „Differentialrechnung untersucht die Ableitungs- und Integralrechnung … das Integral“, bemerkt das Massachusetts Institute of Technology. Aber es steckt noch mehr dahinter. Die Differentialrechnung bestimmt die Änderungsrate einer Größe. Es untersucht die Änderungsraten von Steigungen und Kurven.

Dieser Zweig befasst sich mit der Untersuchung der Änderungsrate von Funktionen in Bezug auf ihre Variablen, insbesondere durch den Einsatz von Derivaten und Differentialen. Die Ableitung ist die Steigung einer Linie in einem Diagramm. Sie finden die Steigung einer Linie, indem Sie den Anstieg über den Lauf berechnen .

Im Gegensatz dazu versucht die Integralrechnung. die Größe zu finden, bei der die Änderungsrate bekannt ist. Dieser Zweig konzentriert sich auf Konzepte wie Steigungen von Tangentenlinien und Geschwindigkeiten. Während sich die Differentialrechnung auf die Kurve selbst konzentriert, befasst sich die Integralrechnung mit dem Raum oder der Fläche unter der Kurve. Die Integralrechnung wird verwendet, um die Gesamtgröße oder den Gesamtwert wie Längen, Flächen und Volumen zu ermitteln.

Das Kalkül spielte im 17. und 18. Jahrhundert eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Navigation, da es den Seeleuten ermöglichte, die Position des Mondes zu verwenden, um die Ortszeit genau zu bestimmen. Um ihre Position auf See zu bestimmen, mussten die Navigatoren in der Lage sein, sowohl Zeit als auch Winkel genau zu messen. Vor der Entwicklung des Kalküls konnten Schiffsnavigatoren und Kapitäne beides nicht.

Der abgeleitete und der integrale Kalkül trugen dazu bei, das Verständnis dieses wichtigen Konzepts in Bezug auf die Erdkurve zu verbessern. Die Entfernung, die Schiffe um eine Kurve zurücklegen mussten, um zu einem bestimmten Ort zu gelangen, und sogar die Ausrichtung der Erde und der Meere und Schiffe in Bezug auf die Sterne.

 

Praktische Anwendungen

Kalkül hat viele praktische Anwendungen im wirklichen Leben. Einige der Konzepte, die Kalkül verwenden, umfassen Bewegung, Elektrizität, Wärme, Licht, Harmonische, Akustik und Astronomie. Kalkül wird in den Bereichen Geografie, Computer Vision (z. B. zum autonomen Fahren von Autos), Fotografie, künstliche Intelligenz, Robotik, Videospiele und sogar Filme verwendet. Der Kalkül wird auch verwendet, um die Raten des radioaktiven Zerfalls in der Chemie zu berechnen und sogar die Geburten- und Todesraten vorherzusagen sowie um die Schwerkraft und Planetenbewegung, den Flüssigkeitsfluss, das Schiffsdesign, geometrische Kurven und die Brückentechnik zu untersuchen.

In der Physik wird beispielsweise die Berechnung verwendet, um Bewegung, Elektrizität, Wärme, Licht, Harmonische, Akustik, Astronomie und Dynamik zu definieren, zu erklären und zu berechnen. Einsteins Relativitätstheorie basiert auf der Analysis, einem Bereich der Mathematik, mit dem Ökonomen auch vorhersagen können, wie viel Gewinn ein Unternehmen oder eine Branche erzielen kann. Und im Schiffbau wird der Kalkül seit vielen Jahren verwendet, um sowohl die Kurve des Schiffsrumpfs (unter Verwendung des Differentialkalküls) als auch die Fläche unter dem Rumpf (unter Verwendung des Integralkalküls) und sogar bei der allgemeinen Konstruktion von Schiffen zu bestimmen .

Darüber hinaus wird der Kalkül verwendet, um Antworten für verschiedene mathematische Disziplinen wie Statistik, analytische Geometrie und Algebra zu überprüfen.

 

Kalkül in der Wirtschaft

Ökonomen verwenden Kalkül, um Angebot, Nachfrage und maximale potenzielle Gewinne vorherzusagen. Angebot und Nachfrage werden schließlich im Wesentlichen auf einer Kurve dargestellt – und zwar in einer sich ständig ändernden Kurve.

Ökonomen verwenden Kalkül, um die Preiselastizität der Nachfrage zu bestimmen  . Sie bezeichnen die sich ständig ändernde Angebots- und Nachfragekurve als „elastisch“ und die Aktionen der Kurve als „Elastizität“. Um ein genaues Maß für die Elastizität an einem bestimmten Punkt einer Angebots- oder Nachfragekurve zu berechnen, müssen Sie über unendlich kleine Preisänderungen nachdenken und daher mathematische Ableitungen in Ihre Elastizitätsformeln einbeziehen. Mit Calculus können Sie bestimmte Punkte auf dieser sich ständig ändernden Angebots- und Nachfragekurve bestimmen.

 

Quelle

„Kalkülzusammenfassung.“ Massachusetts Institute of Technology, 10. Januar 2000, Cambridge, MA.

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