Mathematik

Was ist die Definition eines mathematischen Durchschnitts?

In Mathematik und Statistik bezieht sich der Durchschnitt auf die Summe einer Gruppe von Werten geteilt durch n , wobei n die Anzahl der Werte in der Gruppe ist. Ein Durchschnitt wird auch als Mittelwert bezeichnet .

Wie der Median und der Modus ist der Durchschnitt ein Maß für die zentrale Tendenz, dh er spiegelt einen typischen Wert in einer bestimmten Menge wider. Durchschnittswerte werden ziemlich regelmäßig verwendet, um die Abschlussnoten über ein Semester oder Semester zu bestimmen. Durchschnittswerte werden auch als Maß für die Leistung verwendet. Zum Beispiel drücken Schlagmittelwerte aus, wie oft ein Baseballspieler schlägt, wenn er bereit ist zu schlagen. Der Kraftstoffverbrauch gibt an, wie weit ein Fahrzeug normalerweise mit einer Gallone Kraftstoff fährt.

Im umgangssprachlichsten Sinne bezieht sich Durchschnitt auf alles, was als gewöhnlich oder typisch angesehen wird.

 

Mathematischer Durchschnitt

Ein mathematischer Durchschnitt wird berechnet, indem die Summe einer Gruppe von Werten durch die Anzahl der Werte in der Gruppe dividiert wird. Es ist auch als arithmetisches Mittel bekannt. (Andere Mittelwerte wie geometrische und harmonische Mittelwerte werden anhand des Produkts und der Kehrwerte der Werte anstelle der Summe berechnet.)

Mit einem kleinen Satz von Werten dauert die Berechnung des Durchschnitts nur wenige einfache Schritte. Stellen wir uns zum Beispiel vor, wir möchten das Durchschnittsalter unter einer Gruppe von fünf Personen ermitteln. Ihr jeweiliges Alter beträgt 12, 22, 24, 27 und 35. Zuerst addieren wir diese Werte, um ihre Summe zu ermitteln:

  • 12 + 22 + 24 + 27 + 35=120

Dann nehmen wir diese Summe und dividieren sie durch die Anzahl der Werte (5):

  • 120 ÷ 5=24

Das Ergebnis, 24, ist das Durchschnittsalter der fünf Personen.

 

Mittelwert, Median und Modus

Der Durchschnitt oder Mittelwert ist nicht das einzige Maß für die zentrale Tendenz, obwohl er eines der häufigsten ist. Die anderen gängigen Kennzahlen sind der Median und der Modus.

Der Median ist der mittlere Wert in einer bestimmten Menge oder der Wert, der die höhere Hälfte von der unteren Hälfte trennt. Im obigen Beispiel beträgt das Durchschnittsalter unter den fünf Personen 24 Jahre, der Wert, der zwischen der oberen Hälfte (27, 35) und der unteren Hälfte (12, 22) liegt. Bei diesem Datensatz sind der Median und der Mittelwert gleich, dies ist jedoch nicht immer der Fall. Wenn beispielsweise die jüngste Person in der Gruppe 7 statt 12 Jahre alt wäre, wäre das Durchschnittsalter 23 Jahre. Der Median wäre jedoch immer noch 24 Jahre.

Für Statistiker kann der Median ein sehr nützliches Maß sein, insbesondere wenn ein Datensatz Ausreißer enthält oder Werte, die sich stark von den anderen Werten im Satz unterscheiden. Im obigen Beispiel sind alle Personen innerhalb von 25 Jahren voneinander entfernt. Aber was wäre, wenn das nicht der Fall wäre? Was wäre, wenn die älteste Person 85 statt 35 wäre? Dieser Ausreißer würde das Durchschnittsalter auf 34 Jahre erhöhen, ein Wert, der größer als 80 Prozent der Werte in der Menge ist. Aufgrund dieses Ausreißers ist der mathematische Durchschnitt keine gute Darstellung des Alters in der Gruppe mehr. Der Median von 24 ist ein viel besseres Maß.

Der Modus ist der häufigste Wert in einem Datensatz oder derjenige, der am wahrscheinlichsten in einer statistischen Stichprobe erscheint. Im obigen Beispiel gibt es keinen Modus, da jeder einzelne Wert eindeutig ist. Bei einer größeren Stichprobe von Personen würde es jedoch wahrscheinlich mehrere Personen des gleichen Alters geben, und das häufigste Alter wäre der Modus.

 

Gewichteter Durchschnitt

In einem normalen Durchschnitt wird jeder Wert in einem bestimmten Datensatz gleich behandelt. Mit anderen Worten, jeder Wert trägt genauso viel zum endgültigen Durchschnitt bei wie die anderen. In einem gewichteten Durchschnitt wirken sich jedoch einige Werte stärker auf den endgültigen Durchschnitt aus als andere. Stellen Sie sich zum Beispiel ein Aktienportfolio vor, das aus drei verschiedenen Aktien besteht: Aktie A, Aktie B und Aktie C. Im letzten Jahr stieg der Wert von Aktie A um 10 Prozent, der Wert von Aktie B um 15 Prozent und der Wert von Aktie C um 25 Prozent . Wir können das durchschnittliche prozentuale Wachstum berechnen, indem wir diese Werte addieren und durch drei teilen. Dies würde uns jedoch nur dann das Gesamtwachstum des Portfolios verdeutlichen, wenn der Eigentümer die gleichen Mengen an Aktien A, Aktien B und Aktien C halten würde. Die meisten Portfolios enthalten natürlich eine Mischung aus verschiedenen Aktien, von denen einige einen größeren Prozentsatz der Aktien ausmachen Portfolio als andere.

Um das Gesamtwachstum des Portfolios zu ermitteln, müssen wir einen gewichteten Durchschnitt berechnen, der darauf basiert, wie viel von jeder Aktie im Portfolio gehalten wird. Zum Beispiel sagen wir, dass Aktie A 20 Prozent des Portfolios ausmacht, Aktie B 10 Prozent und Aktie C 70 Prozent.

Wir gewichten jeden Wachstumswert, indem wir ihn mit seinem Prozentsatz des Portfolios multiplizieren:

  • Aktie A=10 Prozent Wachstum x 20 Prozent des Portfolios=200
  • Aktie B=15 Prozent Wachstum x 10 Prozent des Portfolios=150
  • Aktie C=25 Prozent Wachstum x 70 Prozent des Portfolios=1750

Dann addieren wir diese gewichteten Werte und dividieren sie durch die Summe der prozentualen Portfoliowerte:

  • (200 + 150 + 1750) ÷ (20 + 10 + 70)=21

Das Ergebnis von 21 Prozent entspricht dem Gesamtwachstum des Portfolios. Beachten Sie, dass es höher ist als der Durchschnitt der drei Wachstumswerte allein – 16,67 -, was angesichts der Tatsache, dass die Aktie mit der höchsten Performance auch den Löwenanteil des Portfolios ausmacht, sinnvoll ist.

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