Mathematik

Was ist umgekehrt, kontrapositiv und umgekehrt?

Bedingte Aussagen tauchen überall auf. In der Mathematik oder anderswo dauert es nicht lange, bis man auf etwas in der Form „Wenn P, dann Q“ stößt . Bedingte Aussagen sind in der Tat wichtig. Wichtig sind auch Aussagen, die sich auf die ursprüngliche bedingte Aussage beziehen, indem sie die Position von P , Q und die Negation einer Aussage ändern . Ausgehend von einer ursprünglichen Aussage erhalten wir drei neue bedingte Aussagen, die als umgekehrt, kontrapositiv und umgekehrt bezeichnet werden .

 

Negation

Bevor wir das Gegenteil, Kontrapositive und Inverse einer bedingten Aussage definieren, müssen wir das Thema Negation untersuchen. Jede Aussage in der Logik ist entweder wahr oder falsch. Die Negation einer Aussage beinhaltet einfach das Einfügen des Wortes „nicht“ an der richtigen Stelle der Aussage. Das Hinzufügen des Wortes „nicht“ erfolgt so, dass sich der Wahrheitsstatus der Aussage ändert.

Es wird hilfreich sein, sich ein Beispiel anzusehen. Die Aussage „Das rechtwinklige Dreieck ist gleichseitig“ hat die Negation „Das rechtwinklige Dreieck ist nicht gleichseitig.“ Die Negation von „10 ist eine gerade Zahl“ ist die Aussage „10 ist keine gerade Zahl“. Natürlich könnten wir für dieses letzte Beispiel die Definition einer ungeraden Zahl verwenden und stattdessen sagen, dass „10 eine ungerade Zahl ist“. Wir stellen fest, dass die Wahrheit einer Aussage das Gegenteil der der Negation ist.

Wir werden diese Idee in einem abstrakteren Rahmen untersuchen. Wenn die Aussage P wahr ist, ist die Aussage „nicht P “ falsch. Und falls P falsch ist, seine Negation „nicht P“ ist wahr. Negationen werden üblicherweise mit einer Tilde ~ bezeichnet. Anstatt also „nicht P “ zu schreiben, können wir ~ P schreiben .

 

Converse, Contrapositive und Inverse

Jetzt können wir das Gegenteil, das Kontrapositive und das Inverse einer bedingten Aussage definieren. Wir beginnen mit der bedingten Aussage „Wenn P, dann Q.

  • Die Umkehrung der bedingten Aussage lautet „Wenn Q, dann P.
  • Das Gegenteil der bedingten Aussage ist „Wenn nicht Q, dann nicht P.
  • Die Umkehrung der bedingten Aussage lautet „Wenn nicht P, dann nicht Q.

Wir werden anhand eines Beispiels sehen, wie diese Aussagen funktionieren. Angenommen, wir beginnen mit der bedingten Aussage: „Wenn es letzte Nacht geregnet hat, ist der Bürgersteig nass.“

  • Die Umkehrung der bedingten Aussage lautet: „Wenn der Bürgersteig nass ist, hat es letzte Nacht geregnet.“
  • Das Gegenteil der bedingten Aussage ist: „Wenn der Bürgersteig nicht nass ist, hat es letzte Nacht nicht geregnet.“
  • Die Umkehrung der bedingten Aussage lautet: „Wenn es letzte Nacht nicht geregnet hat, ist der Bürgersteig nicht nass.“

 

Logische Äquivalenz

Wir mögen uns fragen, warum es wichtig ist, diese anderen bedingten Aussagen aus unserer ursprünglichen zu bilden. Ein genauer Blick auf das obige Beispiel zeigt etwas. Angenommen, die ursprüngliche Aussage „Wenn es letzte Nacht geregnet hat, ist der Bürgersteig nass“ ist wahr. Welche der anderen Aussagen muss auch wahr sein?

  • Die Umkehrung „Wenn der Bürgersteig nass ist, hat es letzte Nacht geregnet“ ist nicht unbedingt wahr. Der Bürgersteig könnte aus anderen Gründen nass sein.
  • Die Umkehrung „Wenn es letzte Nacht nicht geregnet hat, ist der Bürgersteig nicht nass“ ist nicht unbedingt wahr. Nur weil es nicht geregnet hat, heißt das noch lange nicht, dass der Bürgersteig nicht nass ist.
  • Das kontrapositive „Wenn der Bürgersteig nicht nass ist, dann hat es letzte Nacht nicht geregnet“ ist eine wahre Aussage.

Was wir aus diesem Beispiel sehen (und was mathematisch bewiesen werden kann), ist, dass eine bedingte Aussage den gleichen Wahrheitswert hat wie ihre kontrapositive. Wir sagen, dass diese beiden Aussagen logisch äquivalent sind. Wir sehen auch, dass eine bedingte Anweisung nicht logisch äquivalent zu ihrer Umkehrung und Umkehrung ist.

Da eine bedingte Aussage und ihr Kontrapositiv logisch äquivalent sind, können wir dies zu unserem Vorteil nutzen, wenn wir mathematische Theoreme beweisen. Anstatt die Wahrheit einer bedingten Aussage direkt zu beweisen, können wir stattdessen die indirekte Beweisstrategie verwenden, um die Wahrheit des Kontrapositivs dieser Aussage zu beweisen. Kontrapositive Beweise funktionieren, denn wenn das Kontrapositive wahr ist, ist aufgrund der logischen Äquivalenz auch die ursprüngliche bedingte Aussage wahr.

Es stellt sich heraus, dass die Umkehrung und die Umkehrung zwar nicht logisch der ursprünglichen bedingten Anweisung entsprechen. aber logisch einander äquivalent sind. Dafür gibt es eine einfache Erklärung. Wir beginnen mit der bedingten Anweisung „Wenn Q, dann P“. Das Gegenteil dieser Aussage ist „Wenn nicht P, dann nicht Q. “ Da die Umkehrung das Gegenteil der Umkehrung ist, sind die Umkehrung und die Umkehrung logisch äquivalent.

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