Mathematik

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Notation und Beispiele

Ein einfaches Beispiel für eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus einem Standardkartenstapel gezogene Karte ein König ist. Es gibt insgesamt vier Könige von 52 Karten, und die Wahrscheinlichkeit beträgt einfach 4/52. Im Zusammenhang mit dieser Berechnung steht die folgende Frage: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen König ziehen, da wir bereits eine Karte aus dem Stapel gezogen haben und es sich um ein Ass handelt?“ Hier betrachten wir den Inhalt des Kartenspiels. Es gibt noch vier Könige, aber jetzt sind nur noch 51 Karten im Deck. Die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, wenn bereits ein Ass gezogen wurde, beträgt 4/51.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis aufgetreten ist. Wenn wir diese Ereignisse A und B nennen , können wir über die Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B sprechen . Wir könnten uns auch auf die Wahrscheinlichkeit beziehen, dass A von B abhängt .

 

Notation

Die Notation für die bedingte Wahrscheinlichkeit variiert von Lehrbuch zu Lehrbuch. In allen Notationen ist der Hinweis, dass die Wahrscheinlichkeit, auf die wir uns beziehen, von einem anderen Ereignis abhängt. Eine der häufigsten Notationen für die Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B ist P (A | B) . Eine andere verwendete Notation ist P B (A) .

 

Formel

Es gibt eine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit, die dies mit der Wahrscheinlichkeit von A und B verbindet :

P (A | B)=P (A ∩ B) / P (B)

Im Wesentlichen besagt diese Formel, dass wir zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bei gegebenem Ereignis B unseren Probenraum so ändern, dass er nur aus der Menge B besteht . Dabei berücksichtigen wir nicht das gesamte Ereignis A , sondern nur den Teil von A , der auch in B enthalten ist . Die soeben beschriebene Menge kann in bekannteren Begriffen als Schnittpunkt von A und B identifiziert werden .

Wir können Algebra verwenden. um die obige Formel auf andere Weise auszudrücken:

P (A ∩ B)=P (A | B) P (B)

 

Beispiel

Wir werden das Beispiel, mit dem wir begonnen haben, angesichts dieser Informationen noch einmal betrachten. Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, einen König zu ziehen, da bereits ein Ass gezogen wurde. Das Ereignis A ist also, dass wir einen König zeichnen. Ereignis B ist, dass wir ein Ass ziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten und wir ein Ass und dann einen König ziehen, entspricht P (A ∩ B). Der Wert dieser Wahrscheinlichkeit beträgt 12/2652. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B , dass wir ein Ass ziehen, beträgt 4/52. Wir verwenden also die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, der gegeben ist, als ein Ass gezogen wurde, (16/2652) / (4/52)=4/51 ist.

 

Ein anderes Beispiel

Als weiteres Beispiel betrachten wir das Wahrscheinlichkeitsexperiment, bei dem wir zwei Würfel werfen . Eine Frage, die wir stellen könnten, lautet: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine Drei gewürfelt haben, wenn wir eine Summe von weniger als sechs gewürfelt haben?“

Hier ist das Ereignis A, dass wir eine Drei gewürfelt haben, und das Ereignis B ist, dass wir eine Summe von weniger als sechs gewürfelt haben. Es gibt insgesamt 36 Möglichkeiten, zwei Würfel zu würfeln. Von diesen 36 Möglichkeiten können wir eine Summe von weniger als sechs auf zehn Arten würfeln:

  • 1 + 1=2
  • 1 + 2=3
  • 1 + 3=4
  • 1 + 4=5
  • 2 + 1=3
  • 2 + 2=4
  • 2 + 3=5
  • 3 + 1=4
  • 3 + 2=5
  • 4 + 1=5

 

Unabhängige Veranstaltungen

Es gibt einige Fälle, in denen die bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem Ereignis B gleich der Wahrscheinlichkeit von A ist . In dieser Situation sagen wir, dass die Ereignisse A und B unabhängig voneinander sind. Die obige Formel lautet:

P (A | B)=P (A)=P (A ∩ B) / P (B),

und wir stellen die Formel wieder her, dass für unabhängige Ereignisse die Wahrscheinlichkeit von A und B durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse ermittelt wird:

P (A ∩ B)=P (B) P (A)

Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, bedeutet dies, dass ein Ereignis keine Auswirkung auf das andere hat. Das Werfen einer Münze und einer anderen ist ein Beispiel für unabhängige Ereignisse. Ein Münzwurf hat keine Auswirkung auf den anderen.

 

Vorsichtsmaßnahmen

Achten Sie sehr darauf, welches Ereignis vom anderen abhängt. Im Allgemeinen ist P (A | B) nicht gleich P (B | A) . Das ist die Wahrscheinlichkeit von A das Ereignis gegeben B ist nicht die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit von B das Ereignis gegeben A .

In einem Beispiel oben haben wir gesehen, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln die Wahrscheinlichkeit, drei zu würfeln, 4/10 betrug, da wir eine Summe von weniger als sechs gewürfelt haben. Wie hoch ist andererseits die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von weniger als sechs zu würfeln, wenn wir eine Drei gewürfelt haben? Die Wahrscheinlichkeit, eine Drei und eine Summe von weniger als sechs zu würfeln, beträgt 4/36. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Drei zu würfeln, beträgt 11/36. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist in diesem Fall also (4/36) / (11/36)=4/11.

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