Mathematik

Verwenden Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, um Schnittpunkte zu berechnen

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, vorausgesetzt, ein anderes Ereignis B ist bereits eingetreten. Diese Art von Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem der Probenraum. mit dem wir arbeiten, nur auf die Menge B beschränkt wird .

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit kann mit einer grundlegenden Algebra umgeschrieben werden. Anstelle der Formel:

P (A | B)=P (A ∩ B) / P (B),

Wir multiplizieren beide Seiten mit P (B) und erhalten die äquivalente Formel:

P (A | B) x P (B)=P (A ∩ B).

Wir können diese Formel dann verwenden, um die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse auftreten, unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.

 

Verwendung der Formel

Diese Version der Formel ist am nützlichsten, wenn wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B sowie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B kennen . Wenn dies der Fall ist, können wir die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von A bei gegebenem B berechnen, indem wir einfach zwei andere Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse ist eine wichtige Zahl, da es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, dass beide Ereignisse auftreten.

 

Beispiele

Nehmen wir für unser erstes Beispiel an, dass wir die folgenden Werte für Wahrscheinlichkeiten kennen: P (A | B) = 0,8 und P (B)=0,5. Die Wahrscheinlichkeit P (A ∩ B)=0,8 x 0,5=0,4.

Während das obige Beispiel zeigt, wie die Formel funktioniert, ist es möglicherweise nicht besonders aufschlussreich, wie nützlich die obige Formel ist. Wir werden also ein anderes Beispiel betrachten. Es gibt eine High School mit 400 Schülern, von denen 120 männlich und 280 weiblich sind. Von den Männern sind derzeit 60% in einem Mathematikkurs eingeschrieben. Von den Frauen sind derzeit 80% in einem Mathematikkurs eingeschrieben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Studentin eine Frau ist, die in einem Mathematikkurs eingeschrieben ist?

Hier lassen wir F das Ereignis „Ausgewählter Schüler ist eine Frau“ und M das Ereignis „Ausgewählter Schüler ist in einem Mathematikkurs eingeschrieben“ bezeichnen. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts dieser beiden Ereignisse oder P (M ∩ F) bestimmen .

Die obige Formel zeigt uns, dass P (M ∩ F)=P (M | F) x P (F) . Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau ausgewählt wird, beträgt P (F)=280/400=70%. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Student in einem Mathematikkurs eingeschrieben ist, vorausgesetzt, dass eine Frau ausgewählt wurde, beträgt P (M | F)=80%. Wir multiplizieren diese Wahrscheinlichkeiten miteinander und sehen, dass wir eine Wahrscheinlichkeit von 80% x 70%=56% haben, eine Studentin auszuwählen, die in einem Mathematikkurs eingeschrieben ist.

 

Test auf Unabhängigkeit

Die obige Formel, die die bedingte Wahrscheinlichkeit und die Schnittwahrscheinlichkeit in Beziehung setzt, gibt uns eine einfache Möglichkeit zu erkennen, ob es sich um zwei unabhängige Ereignisse handelt. Da die Ereignisse A und B unabhängig sind, wenn P (A | B)=P (A) , folgt aus der obigen Formel, dass die Ereignisse A und B genau dann unabhängig sind, wenn:

P (A) x P (B)=P (A ∩ B)

Wenn wir also wissen, dass P (A)=0,5, P (B)=0,6 und P (A ∩ B)=0,2, ohne etwas anderes zu wissen, können wir feststellen, dass diese Ereignisse nicht unabhängig sind. Wir wissen das, weil P (A) x P (B)=0,5 x 0,6=0,3. Dies ist nicht die Wahrscheinlichkeit , dass der Schnittpunkt von A und B .

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