Mathematik

Verwendung der Komplementregel in der Statistik

In der Statistik ist die Komplementregel ein Theorem, das einen Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der Wahrscheinlichkeit des Komplements des Ereignisses herstellt, so dass wir automatisch die andere kennen, wenn wir eine dieser Wahrscheinlichkeiten kennen.

Die Komplementregel ist nützlich, wenn wir bestimmte Wahrscheinlichkeiten berechnen. Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses chaotisch oder kompliziert zu berechnen, während die Wahrscheinlichkeit seines Komplements viel einfacher ist.

Bevor wir sehen, wie die Komplementregel verwendet wird, werden wir speziell definieren, was diese Regel ist. Wir beginnen mit einer kleinen Notation. Das Komplement des Ereignisses  A , das aus allen Elementen im  Probenraum  S besteht  , die keine Elemente der Menge  A sind , wird mit  A C bezeichnet.

 

Erklärung der Ergänzungsregel

Die Komplementregel wird angegeben als „die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der Wahrscheinlichkeit seines Komplements ist gleich 1“, ausgedrückt durch die folgende Gleichung:

P ( A C )=1 – P ( A )

Das folgende Beispiel zeigt, wie die Komplementregel verwendet wird. Es wird deutlich, dass dieser Satz die Wahrscheinlichkeitsberechnungen sowohl beschleunigt als auch vereinfacht.

 

Wahrscheinlichkeit ohne die Komplementregel

Nehmen wir an, wir werfen acht schöne Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kopf sichtbar ist? Eine Möglichkeit, dies herauszufinden, besteht darin, die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Der Nenner von jedem wird durch die Tatsache erklärt, dass es 2 8=256 Ergebnisse gibt, von denen jedes gleich wahrscheinlich ist. Alle folgenden verwenden eine Formel für Kombinationen :

  • Die Wahrscheinlichkeit, genau einen Kopf umzudrehen, beträgt C (8,1) / 256=8/256.
  • Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Köpfe umzudrehen, beträgt C (8,2) / 256=28/256.
  • Die Wahrscheinlichkeit, genau drei Köpfe umzudrehen, beträgt C (8,3) / 256=56/256.
  • Die Wahrscheinlichkeit, genau vier Köpfe umzudrehen, beträgt C (8,4) / 256=70/256.
  • Die Wahrscheinlichkeit, genau fünf Köpfe umzudrehen, beträgt C (8,5) / 256=56/256.
  • Die Wahrscheinlichkeit, genau sechs Köpfe umzudrehen, beträgt C (8,6) / 256=28/256.
  • Die Wahrscheinlichkeit, genau sieben Köpfe umzudrehen, beträgt C (8,7) / 256=8/256.
  • Die Wahrscheinlichkeit, genau acht Köpfe umzudrehen, beträgt C (8,8) / 256=1/256.

Da es sich um sich gegenseitig ausschließende Ereignisse handelt, summieren wir die Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der entsprechenden Additionsregel. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass wir mindestens einen Kopf haben, 255 von 256 beträgt.

 

Verwenden der Komplementregel zur Vereinfachung von Wahrscheinlichkeitsproblemen

Wir berechnen nun die gleiche Wahrscheinlichkeit unter Verwendung der Komplementregel. Die Ergänzung des Ereignisses „Wir drehen mindestens einen Kopf um“ ist das Ereignis „Es gibt keine Köpfe“. Es gibt eine Möglichkeit, dies zu erreichen, die uns die Wahrscheinlichkeit von 1/256 gibt. Wir verwenden die Komplementregel und stellen fest, dass unsere gewünschte Wahrscheinlichkeit eins minus eins von 256 ist, was 255 von 256 entspricht.

Dieses Beispiel zeigt nicht nur die Nützlichkeit, sondern auch die Kraft der Komplementregel. Obwohl an unserer ursprünglichen Berechnung nichts auszusetzen ist, war sie ziemlich aufwendig und erforderte mehrere Schritte. Im Gegensatz dazu gab es bei Verwendung der Komplementregel für dieses Problem nicht so viele Schritte, bei denen Berechnungen schief gehen konnten.

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