Mathematik

Wie sich Kombinationen und Permutationen unterscheiden

In Mathematik und Statistik müssen wir wissen, wie man zählt. Dies gilt insbesondere für einige Wahrscheinlichkeitsprobleme. Angenommen, wir erhalten insgesamt n verschiedene Objekte und möchten r davon auswählen . Dies berührt direkt einen Bereich der Mathematik, der als Kombinatorik bekannt ist, nämlich das Studium des Zählens. Zwei der Hauptmethoden zum Zählen dieser r Objekte aus n Elementen werden als Permutationen und Kombinationen bezeichnet. Diese Konzepte sind eng miteinander verbunden und leicht zu verwechseln.

Was ist der Unterschied zwischen einer Kombination und einer Permutation? Die Schlüsselidee ist die der Ordnung. Eine Permutation achtet auf die Reihenfolge, in der wir unsere Objekte auswählen. Dieselbe Menge von Objekten, jedoch in einer anderen Reihenfolge, gibt uns unterschiedliche Permutationen. Mit einer Kombination wählen wir immer noch r Objekte aus insgesamt n aus , aber die Reihenfolge wird nicht mehr berücksichtigt.

 

Ein Beispiel für Permutationen

Um zwischen diesen Ideen zu unterscheiden, betrachten wir das folgende Beispiel: Wie viele Permutationen gibt es von zwei Buchstaben aus der Menge { a, b, c }?

Hier listen wir alle Elementpaare aus der angegebenen Menge auf, wobei wir auf die Reihenfolge achten. Es gibt insgesamt sechs Permutationen. Die Liste von all diesen ist: ab, ba, bc, cb, ac und ca. Man beachte , dass , wie Permutationen ab und ba verschieden sind , weil in einem Fall a wurde zuerst ausgewählt, und in der anderen eine wurde zweite gewählt.

 

Ein Beispiel für Kombinationen

Nun werden wir die folgende Frage beantworten: Wie viele Kombinationen gibt es aus zwei Buchstaben aus der Menge { a, b, c }?

Da es sich um Kombinationen handelt, kümmert uns die Bestellung nicht mehr. Wir können dieses Problem lösen, indem wir auf die Permutationen zurückblicken und dann diejenigen eliminieren, die dieselben Buchstaben enthalten. Als Kombinationen werden ab und ba als gleich angesehen. Somit gibt es nur drei Kombinationen: ab, ac und bc.

 

Formeln

In Situationen mit größeren Mengen ist es zu zeitaufwändig, alle möglichen Permutationen oder Kombinationen aufzulisten und das Endergebnis zu zählen. Glücklicherweise gibt es Formeln , die uns die Anzahl der Permutationen oder Kombinationen geben n Objekte genommen r zu einem Zeitpunkt.

In diesen Formeln verwenden wir die Kurzschreibweise von n ! genannt n factorial. Die Fakultät sagt einfach, dass alle positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich n miteinander multipliziert werden sollen . Also zum Beispiel 4!=4 x 3 x 2 x 1=24. Per Definition 0!=1 .

Die Anzahl der Permutationen von n Objekten, die r gleichzeitig aufgenommen wurden, ergibt sich aus der Formel:

P ( n , r )=n ! / ( Nr )!

Die Anzahl der Kombinationen von n Objekten, die r gleichzeitig aufgenommen wurden, ergibt sich aus der Formel:

C ( n , r )=n ! / [ R ! ( Nr )!]

 

Formeln bei der Arbeit

Schauen wir uns das erste Beispiel an, um die Formeln bei der Arbeit zu sehen. Die Anzahl der Permutationen eines Satzes von drei Objekten, die zu zweit aufgenommen wurden, ist gegeben durch P (3,2)=3! / (3 – 2)!=6/1=6. Dies entspricht genau dem, was wir durch Auflisten aller Permutationen erhalten haben.

Die Anzahl der Kombinationen einer Menge von drei Objekten, die zu zweit aufgenommen wurden, ist gegeben durch:

C (3,2)=3! / [2! (3-2)!]=6/2=3. Auch dies stimmt genau mit dem überein, was wir zuvor gesehen haben.

Die Formeln sparen definitiv Zeit, wenn wir aufgefordert werden, die Anzahl der Permutationen einer größeren Menge zu ermitteln. Wie viele Permutationen gibt es beispielsweise für einen Satz von zehn Objekten, die jeweils drei Mal aufgenommen wurden? Es würde eine Weile dauern, alle Permutationen aufzulisten, aber mit den Formeln sehen wir, dass es Folgendes geben würde:

P (10,3)=10! / (10-3)!=10! / 7!=10 x 9 x 8=720 Permutationen.

 

Der Grundgedanke

Was ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen? Das Fazit ist, dass in Zählsituationen, die eine Bestellung beinhalten, Permutationen verwendet werden sollten. Wenn die Reihenfolge nicht wichtig ist, sollten Kombinationen verwendet werden.

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