Mathematik

Beispiel Chi-Quadrat-Test für ein multinomiales Experiment

Eine Verwendung einer Chi-Quadrat-Verteilung sind Hypothesentests für multinomiale Experimente. Um zu sehen, wie dieser Hypothesentest funktioniert, werden wir die folgenden zwei Beispiele untersuchen. Beide Beispiele arbeiten mit denselben Schritten:

  1. Bilden Sie die Nullhypothese und die Alternativhypothese
  2. Berechnen Sie die Teststatistik
  3. Finden Sie den kritischen Wert
  4. Treffen Sie eine Entscheidung darüber, ob Sie unsere Nullhypothese ablehnen oder nicht ablehnen. 

Beispiel 1: Eine faire Münze

Für unser erstes Beispiel wollen wir uns eine Münze ansehen. Eine faire Münze hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass 1/2 Kopf oder Zahl auftaucht. Wir werfen 1000 Mal eine Münze und zeichnen die Ergebnisse von insgesamt 580 Köpfen und 420 Schwänzen auf. Wir möchten die Hypothese mit einem 95% igen Vertrauensniveau testen, dass die Münze, die wir geworfen haben, fair ist. Formal ist die Nullhypothese H 0, dass die Münze fair ist. Da wir die beobachteten Häufigkeiten der Ergebnisse eines Münzwurfs mit den erwarteten Häufigkeiten einer idealisierten fairen Münze vergleichen, sollte ein Chi-Quadrat-Test verwendet werden.

Berechnen Sie die Chi-Quadrat-Statistik

Wir beginnen mit der Berechnung der Chi-Quadrat-Statistik für dieses Szenario. Es gibt zwei Ereignisse, Kopf und Zahl. Köpfe haben eine beobachtete Häufigkeit von f 1=580 mit einer erwarteten Häufigkeit von e 1=50% x 1000=500. Schwänze haben eine beobachtete Häufigkeit von f 2=420 mit einer erwarteten Häufigkeit von e 1=500.

Wir verwenden nun die Formel für die Chi-Quadrat – Statistik und sehen , dass χ 2=( f 1e 1 ) 2 / E 1 + ( f 2e 2 ) 2 / e 2=80 2 /500 + (-80) 2 /500=25,6.

Finden Sie den kritischen Wert

Als nächstes müssen wir den kritischen Wert für die richtige Chi-Quadrat-Verteilung finden. Da es zwei Ergebnisse für die Münze gibt, sind zwei Kategorien zu berücksichtigen. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist eins weniger als die Anzahl der Kategorien: 2 – 1=1. Wir verwenden die Chi-Quadrat-Verteilung für diese Anzahl von Freiheitsgraden und sehen, dass χ 2 0,95=3,841.

Ablehnen oder nicht ablehnen?

Schließlich vergleichen wir die berechnete Chi-Quadrat-Statistik mit dem kritischen Wert aus der Tabelle. Seit 25.6> 3.841 lehnen wir die Nullhypothese ab, dass dies eine faire Münze ist.

Beispiel 2: Ein fairer Würfel

Ein fairer Würfel hat eine gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/6, einen, zwei, drei, vier, fünf oder sechs zu würfeln. Wir würfeln 600 Mal und stellen fest, dass wir 106 Mal eins, 90 Mal zwei Mal, 98 Mal drei Mal 98 Mal, vier Mal 102 Mal, fünf Mal 100 Mal und sechs Mal 104 Mal würfeln. Wir wollen die Hypothese mit einem 95% igen Vertrauen testen, dass wir einen fairen Würfel haben.

Berechnen Sie die Chi-Quadrat-Statistik

Es gibt sechs Ereignisse mit einer erwarteten Häufigkeit von 1/6 x 600=100. Die beobachteten Häufigkeiten sind f 1=106, f 2=90, f 3=98, f 4=102, f 5=100, f 6=104,

Wir verwenden nun die Formel für die Chi-Quadrat-Statistik und sehen, dass χ 2=( f 1e 1 ) 2 / e 1 + ( f 2e 2 ) 2 / e 2 + ( f 3e 3 ) 2 / e 3 + ( f 4e 4 ) 2 / e 4 + ( f 5e 5 ) 2 / e 5 + ( f 6e 6 ) 2 / e 6=1,6.

Finden Sie den kritischen Wert

Als nächstes müssen wir den kritischen Wert für die richtige Chi-Quadrat-Verteilung finden. Da es sechs Kategorien von Ergebnissen für den Würfel gibt, ist die Anzahl der Freiheitsgrade eins weniger als diese: 6 – 1=5. Wir verwenden die Chi-Quadrat-Verteilung für fünf Freiheitsgrade und sehen, dass χ 2 0,95=11,071.

Ablehnen oder nicht ablehnen?

Schließlich vergleichen wir die berechnete Chi-Quadrat-Statistik mit dem kritischen Wert aus der Tabelle. Da die berechnete Chi-Quadrat-Statistik 1,6 unter unserem kritischen Wert von 11,071 liegt, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen .

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