Mathematik

Die Formel für die Chi-Quadrat-Statistik

Die Chi-Quadrat-Statistik misst die Differenz zwischen tatsächlichen und erwarteten Zählwerten in einem statistischen Experiment. Diese Experimente können von Zwei-Wege-Tabellen bis zu multinomialen  Experimenten variieren  . Die tatsächlichen Zählungen stammen aus Beobachtungen, die erwarteten Zählungen werden typischerweise aus  probabilistischen  oder anderen mathematischen Modellen bestimmt.

Die Formel für die Chi-Quadrat-Statistik

Chi-Quadrat-Statistikformel
CKTaylor

In der obigen Formel betrachten wir n Paare von erwarteten und beobachteten Zählungen. Das Symbol e k bezeichnet die erwarteten Zählungen und f k bezeichnet die beobachteten Zählungen. Um die Statistik zu berechnen, führen wir die folgenden Schritte aus:

  1. Berechnen Sie die Differenz zwischen den entsprechenden tatsächlichen und erwarteten Zählwerten.
  2. Quadrieren Sie die Unterschiede zum vorherigen Schritt, ähnlich der Formel für die Standardabweichung .
  3. Teilen Sie jede der quadratischen Differenzen durch die entsprechende erwartete Anzahl.
  4. Addieren Sie alle Quotienten aus Schritt 3, um unsere Chi-Quadrat-Statistik zu erhalten.

Das Ergebnis dieses Prozesses ist eine nicht negative reelle Zahl. die uns sagt, wie unterschiedlich die tatsächlichen und erwarteten Zählungen sind. Wenn wir berechnen, dass χ 2=0 ist, zeigt dies an, dass es keine Unterschiede zwischen unseren beobachteten und erwarteten Zählungen gibt. Wenn andererseits χ 2  eine sehr große Zahl ist, gibt es einige Meinungsverschiedenheiten zwischen den tatsächlichen Zählungen und dem, was erwartet wurde.

Eine alternative Form der Gleichung für die Chi-Quadrat-Statistik verwendet die Summationsnotation, um die Gleichung kompakter zu schreiben. Dies ist in der zweiten Zeile der obigen Gleichung zu sehen.

Berechnung der Chi-Quadrat-Statistikformel

Chi-Quadrat-Statistikformel
CKTaylor

Angenommen, wir haben die folgenden Daten aus einem Experiment. um zu sehen, wie eine Chi-Quadrat-Statistik mithilfe der Formel berechnet wird :

  • Erwartet: 25 Beobachtet: 23
  • Erwartet: 15 Beobachtet: 20
  • Erwartet: 4 Beobachtet: 3
  • Erwartet: 24 Beobachtet: 24
  • Erwartet: 13 Beobachtet: 10

Berechnen Sie als Nächstes die Unterschiede für jede dieser Differenzen. Da wir diese Zahlen am Ende quadrieren, werden die negativen Vorzeichen entfernt. Aufgrund dieser Tatsache können die tatsächlichen und erwarteten Beträge in einer der beiden möglichen Optionen voneinander abgezogen werden. Wir bleiben in Übereinstimmung mit unserer Formel und subtrahieren daher die beobachteten Zählungen von den erwarteten:

  • 25 – 23=2
  • 15 – 20=-5
  • 4 – 3=1
  • 24 – 24=0
  • 13 – 10=3

Quadrieren Sie nun alle diese Unterschiede: und dividieren Sie durch den entsprechenden erwarteten Wert:

  • 2 2 /25=0 .16
  • (-5) 2 /15=1.6667
  • 1 2 /4=0,25
  • 0 2 /24=0
  • 3 2 /13=0,5625

Addieren Sie zum Abschluss die obigen Zahlen: 0,16 + 1,6667 + 0,25 + 0 + 0,5625=2,693

Weitere Arbeiten mit Hypothesentests müssten durchgeführt werden, um festzustellen, welche Bedeutung dieser Wert von χ 2 hat .

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