Mathematik

Beispiel für einen Fit-Test

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ist nützlich, um ein theoretisches Modell mit beobachteten Daten zu vergleichen . Dieser Test ist eine Art des allgemeineren Chi-Quadrat-Tests. Wie bei jedem Thema in Mathematik oder Statistik kann es hilfreich sein, ein Beispiel durchzuarbeiten, um zu verstehen, was passiert, anhand eines Beispiels für die Chi-Quadrat-Güte des Fit-Tests.

Betrachten Sie eine Standardverpackung Milchschokolade M & Ms. Es gibt sechs verschiedene Farben: Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau und Braun. Nehmen wir an, wir sind neugierig auf die Verteilung dieser Farben und fragen, ob alle sechs Farben zu gleichen Teilen auftreten. Dies ist die Art von Frage, die mit einem Anpassungstest beantwortet werden kann.

Rahmen

Wir beginnen mit der Feststellung der Einstellung und warum der Fit-Test angemessen ist. Unsere Farbvariable ist kategorisch. Es gibt sechs Ebenen dieser Variablen, die den sechs möglichen Farben entsprechen. Wir gehen davon aus, dass die von uns gezählten M & Ms eine einfache Zufallsstichprobe aus der Bevölkerung aller M & Ms sind.

Null- und Alternativhypothesen

Die Null- und Alternativhypothesen für unseren Anpassungstest spiegeln die Annahme wider, die wir über die Bevölkerung machen. Da wir testen, ob die Farben in gleichen Anteilen auftreten, lautet unsere Nullhypothese, dass alle Farben im gleichen Verhältnis auftreten. Wenn p 1 der Bevölkerungsanteil von roten Bonbons ist, p 2 der Bevölkerungsanteil von orangefarbenen Bonbons usw. ist, lautet die Nullhypothese, dass p 1=p 2 =. . .=p 6=1/6.

Die alternative Hypothese ist, dass mindestens einer der Bevölkerungsanteile nicht gleich 1/6 ist.

Tatsächliche und erwartete Anzahl

Die tatsächliche Anzahl ist die Anzahl der Bonbons für jede der sechs Farben. Die erwartete Anzahl bezieht sich auf das, was wir erwarten würden, wenn die Nullhypothese wahr wäre. Wir lassen n die Größe unserer Stichprobe sein. Die erwartete Anzahl roter Bonbons beträgt p 1 n oder n / 6. Tatsächlich beträgt in diesem Beispiel die erwartete Anzahl von Bonbons für jede der sechs Farben einfach n- mal p i oder n / 6.

Chi-Quadrat-Statistik für die Anpassungsgüte

Wir werden nun eine Chi-Quadrat-Statistik für ein bestimmtes Beispiel berechnen. Angenommen, wir haben eine einfache Zufallsstichprobe von 600 M & M-Bonbons mit der folgenden Verteilung:

  • 212 der Bonbons sind blau.
  • 147 der Bonbons sind orange.
  • 103 der Bonbons sind grün.
  • 50 der Bonbons sind rot.
  • 46 der Bonbons sind gelb.
  • 42 der Bonbons sind braun.

Wenn die Nullhypothese wahr wäre, wäre die erwartete Anzahl für jede dieser Farben (1/6) x 600=100. Wir verwenden dies nun bei unserer Berechnung der Chi-Quadrat-Statistik.

Wir berechnen den Beitrag zu unserer Statistik aus jeder der Farben. Jedes hat die Form (tatsächlich – erwartet) 2 / erwartet:

  • Für Blau haben wir (212-100) 2 /100=125,44
  • Für Orange haben wir (147-100) 2 /100=22,09
  • Für Grün haben wir (103-100) 2 /100=0,09
  • Für Rot haben wir (50 bis 100) 2 /100=25
  • Für Gelb haben wir (46-100) 2 /100=29,16
  • Für braun haben wir (42-100) 2 /100=33,64

Wir addieren dann alle diese Beiträge und stellen fest, dass unsere Chi-Quadrat-Statistik 125,44 + 22,09 + 0,09 + 25 + 29,16 + 33,64=235,42 beträgt.

Freiheitsgrade

Die Anzahl der Freiheitsgrade für einen Anpassungstest ist einfach eins weniger als die Anzahl der Ebenen unserer Variablen. Da es sechs Farben gab, haben wir 6 – 1=5 Freiheitsgrade.

Chi-Quadrat-Tabelle und P-Wert

Die von uns berechnete Chi-Quadrat-Statistik von 235,42 entspricht einem bestimmten Ort auf einer Chi-Quadrat-Verteilung mit fünf Freiheitsgraden. Wir brauchen jetzt einen p-Wert. um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, eine Teststatistik zu erhalten, die mindestens so extrem wie 235,42 ist, während wir davon ausgehen, dass die Nullhypothese wahr ist.

Für diese Berechnung kann Microsoft Excel verwendet werden. Wir stellen fest, dass unsere Teststatistik mit fünf Freiheitsgraden einen p-Wert von 7,29 x 10 -49 hat . Dies ist ein extrem kleiner p-Wert.

Entscheidungsregel

Wir treffen unsere Entscheidung, ob die Nullhypothese basierend auf der Größe des p-Werts abgelehnt werden soll. Da wir einen sehr winzigen p-Wert haben, lehnen wir die Nullhypothese ab. Wir schließen daraus, dass M & Ms nicht gleichmäßig auf die sechs verschiedenen Farben verteilt sind. Eine Follow-up-Analyse könnte verwendet werden, um ein Konfidenzintervall für den Bevölkerungsanteil einer bestimmten Farbe zu bestimmen.

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