Mathematik

Maximal- und Wendepunkte der Chi-Quadrat-Verteilung

Die mathematische Statistik verwendet Techniken aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, um endgültig zu beweisen, dass Aussagen zur Statistik wahr sind. Wir werden sehen, wie man mithilfe des Kalküls die oben genannten Werte sowohl des Maximalwerts der Chi-Quadrat-Verteilung, der ihrem Modus entspricht, als auch der Wendepunkte der Verteilung ermittelt. 

Bevor wir dies tun, werden wir die Merkmale von Maxima und Wendepunkten im Allgemeinen diskutieren. Wir werden auch eine Methode untersuchen, um ein Maximum der Wendepunkte zu berechnen.

So berechnen Sie einen Modus mit Calculus

Für einen diskreten Datensatz ist der Modus der am häufigsten auftretende Wert. In einem Histogramm der Daten würde dies durch den höchsten Balken dargestellt. Sobald wir den höchsten Balken kennen, sehen wir uns den Datenwert an, der der Basis für diesen Balken entspricht. Dies ist der Modus für unseren Datensatz. 

Die gleiche Idee wird bei der Arbeit mit einer kontinuierlichen Verteilung verwendet. Um den Modus zu finden, suchen wir diesmal nach dem höchsten Peak in der Verteilung. Für ein Diagramm dieser Verteilung ist die Höhe des Peaks ein Wert. Dieser y-Wert wird als Maximum für unser Diagramm bezeichnet, da der Wert größer als jeder andere y-Wert ist. Der Modus ist der Wert entlang der horizontalen Achse, der diesem maximalen y-Wert entspricht. 

Obwohl wir einfach ein Diagramm einer Verteilung betrachten können, um den Modus zu finden, gibt es einige Probleme mit dieser Methode. Unsere Genauigkeit ist nur so gut wie unsere Grafik, und wir müssen wahrscheinlich schätzen. Es kann auch Schwierigkeiten geben, unsere Funktion grafisch darzustellen.

Eine alternative Methode, die keine grafische Darstellung erfordert, ist die Verwendung von Kalkül. Die Methode, die wir verwenden werden, ist wie folgt:

  1. Beginnen Sie mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f ( x ) für unsere Verteilung. 
  2. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung dieser Funktion: f ‚( x ) und f ‚ ‚( x )
  3. Setzen Sie diese erste Ableitung gleich Null f ‚( x )=0.
  4. Löse nach x.
  5. Stecken Sie die Werte aus dem vorherigen Schritt in die zweite Ableitung und werten Sie sie aus. Wenn das Ergebnis negativ ist, haben wir ein lokales Maximum am Wert x.
  6. Bewerten Sie unsere Funktion f ( x ) an allen Punkten x aus dem vorherigen Schritt. 
  7. Bewerten Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion an allen Endpunkten ihrer Unterstützung. Wenn die Funktion der Domäne durch das geschlossene Intervall [a, b] gegeben ist, bewerten Sie die Funktion an den Endpunkten a und b.
  8. Der größte Wert in den Schritten 6 und 7 ist das absolute Maximum der Funktion. Der x-Wert, bei dem dieses Maximum auftritt, ist der Verteilungsmodus.

Modus der Chi-Quadrat-Verteilung

Nun gehen wir die obigen Schritte durch, um den Modus der Chi-Quadrat-Verteilung mit r Freiheitsgraden zu berechnen . Wir beginnen mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f ( x ), die im Bild in diesem Artikel angezeigt wird.

f ( x)=K x r / 2-1 e- x / 2

Hier ist K eine Konstante, die die Gammafunktion und eine Potenz von 2 beinhaltet. Wir müssen die Einzelheiten nicht kennen (wir können uns jedoch auf die Formel im Bild für diese beziehen).

Die erste Ableitung dieser Funktion wird unter Verwendung der Produktregel sowie der Kettenregel gegeben :

f ‚( x )=K (r / 2 – 1) x r / 2-2 ex / 2 ( K / 2 ) x r / 2-1 e x / 2

Wir setzen diese Ableitung gleich Null und faktorisieren den Ausdruck auf der rechten Seite:

0=K x r / 2-1 e- x / 2  [(r / 2 – 1) x -1 – 1/2]

Da die Konstante K, die Exponentialfunktion und x r / 2-1  alle ungleich Null sind, können wir beide Seiten der Gleichung durch diese Ausdrücke teilen. Wir haben dann:

0=(r / 2 – 1) x -1 – 1/2

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2:

0=( r – 2) x -1 – 1

Somit ist 1=( r – 2) x -1 und wir schließen mit x = r – 2. Dies ist der Punkt entlang der horizontalen Achse, an dem der Modus auftritt. Es gibt den x- Wert des Peaks unserer Chi-Quadrat-Verteilung an.

So finden Sie einen Wendepunkt mit Calculus

Ein weiteres Merkmal einer Kurve betrifft die Art und Weise, wie sie sich krümmt. Teile einer Kurve können wie ein Großbuchstabe U nach oben konkav sein. Kurven können auch nach unten konkav sein und die Form eines   Schnittpunktsymbols. haben. Wenn sich die Kurve von konkav nach unten zu konkav nach oben ändert oder umgekehrt, haben wir einen Wendepunkt.

Die zweite Ableitung einer Funktion erkennt die Konkavität des Funktionsgraphen. Wenn die zweite Ableitung positiv ist, ist die Kurve konkav. Wenn die zweite Ableitung negativ ist, ist die Kurve nach unten konkav. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist und der Graph der Funktion die Konkavität ändert, haben wir einen Wendepunkt.

Um die Wendepunkte eines Graphen zu finden, gehen wir wie folgt vor:

  1. Berechnen Sie die zweite Ableitung unserer Funktion f “ ( x ).
  2. Setzen Sie diese zweite Ableitung gleich Null.
  3. Lösen Sie die Gleichung aus dem vorherigen Schritt für x.

Wendepunkte für die Chi-Quadrat-Verteilung

Nun sehen wir, wie die obigen Schritte für die Chi-Quadrat-Verteilung durchgearbeitet werden. Wir beginnen mit der Differenzierung. Aus der obigen Arbeit haben wir gesehen, dass die erste Ableitung für unsere Funktion ist:

f ‚( x )=K (r / 2 – 1) x r / 2-2 ex / 2 (
K / 2
) x r / 2-1 e x / 2

Wir differenzieren erneut, indem wir die Produktregel zweimal verwenden. Wir haben:

f “ ( x )=K (r / 2 – 1) (r / 2 – 2) x r / 2-3 ex / 2 – (K / 2) (r / 2 – 1) x r / 2 -2 e- x / 2 + ( K / 4) x r / 2-1 e- x / 2 – (K / 2) ( r / 2 – 1) x r / 2-2 e- x / 2

Wir setzen dies gleich Null und teilen beide Seiten durch Ke -x / 2

0 = (r / 2 – 1) (r / 2 – 2) x R / 2-3 – (1/2) (r / 2 – 1) x r / 2-2 + (1 / 4) x R / 2-1 – (1/2) ( r / 2 – 1) x r / 2-2

Durch die Kombination gleicher Begriffe haben wir:

(r / 2 – 1) (r / 2 – 2) x R / 2-3 – (r / 2 – 1) x r / 2-2 + (1 / 4) x R / 2-1

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4 x 3 – r / 2 , dies ergibt:

0=(r – 2) (r – 4) – (2r – 4) x + x 2.

Die quadratische Formel kann nun verwendet werden, um nach x zu lösen .

x=[(2r – 4) +/- [(2r – 4) 2 – 4 (r – 2) (r – 4) ] 1/2 ] / 2

Wir erweitern die Begriffe, die zur halben Potenz genommen werden, und sehen Folgendes:

(4r 2 -16r + 16) – 4 (r 2 -6r + 8)=8r – 16=4 (2r – 4)

Das bedeutet, dass:

x=[(2r – 4) +/- [(4 (2r – 4)] 1/2 ] / 2=(r – 2) +/- [2r – 4] 1/2

Daraus sehen wir, dass es zwei Wendepunkte gibt. Darüber hinaus sind diese Punkte symmetrisch zur Art der Verteilung, da (r – 2) auf halbem Weg zwischen den beiden Wendepunkten liegt.

Fazit

Wir sehen, wie diese beiden Merkmale mit der Anzahl der Freiheitsgrade zusammenhängen. Wir können diese Informationen verwenden, um beim Skizzieren einer Chi-Quadrat-Verteilung zu helfen. Wir können diese Verteilung auch mit anderen vergleichen, beispielsweise mit der Normalverteilung. Wir können sehen, dass die Wendepunkte für eine Chi-Quadrat-Verteilung an anderen Stellen auftreten als die Wendepunkte für die Normalverteilung .

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