Mathematik

Chebyshevs Ungleichheit in der Wahrscheinlichkeit

Chebyshevs Ungleichung besagt, dass mindestens 1-1 / K 2 der Daten einer Stichprobe innerhalb von K Standardabweichungen vom Mittelwert liegen müssen (hier ist K eine positive reelle Zahl größer als eins).

Jeder Datensatz, der normalverteilt oder in Form einer Glockenkurve vorliegt. weist mehrere Merkmale auf. Eine davon befasst sich mit der Streuung der Daten relativ zur Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert. Bei einer Normalverteilung wissen wir, dass 68% der Daten eine Standardabweichung vom Mittelwert sind, 95% zwei Standardabweichungen vom Mittelwert und ungefähr 99% innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Wenn der Datensatz jedoch nicht in Form einer Glockenkurve verteilt ist, kann ein anderer Betrag innerhalb einer Standardabweichung liegen. Die Ungleichung von Chebyshev bietet eine Möglichkeit zu ermitteln, welcher Anteil der Daten innerhalb von K Standardabweichungen vom Mittelwert für einen Datensatz liegt.

Fakten über die Ungleichheit

Wir können die obige Ungleichung auch angeben, indem wir den Ausdruck „Daten aus einer Stichprobe“ durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung ersetzen . Dies liegt daran, dass Chebyshevs Ungleichung ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeit ist, die dann auf Statistiken angewendet werden kann.

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Ungleichung ein Ergebnis ist, das mathematisch bewiesen wurde. Es ist nicht wie die empirische Beziehung zwischen Mittelwert und Modus oder die Faustregel. die den Bereich und die Standardabweichung verbindet.

Illustration der Ungleichung

Um die Ungleichung zu veranschaulichen, werden wir sie für einige Werte von K betrachten :

  • Für K=2 haben wir 1 – 1 / K 2=1 – 1/4=3/4=75%. Die Ungleichung von Chebyshev besagt also, dass mindestens 75% der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen müssen.
  • Für K=3 haben wir 1 – 1 / K 2=1 – 1/9=8/9=89%. Die Ungleichung von Chebyshev besagt also, dass mindestens 89% der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen müssen.
  • Für K=4 haben wir 1 – 1 / K 2=1 – 1/16=15/16=93,75%. Die Ungleichung von Chebyshev besagt also, dass mindestens 93,75% der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen müssen.

Beispiel

Angenommen, wir haben die Gewichte von Hunden im örtlichen Tierheim untersucht und festgestellt, dass unsere Stichprobe einen Mittelwert von 20 Pfund mit einer Standardabweichung von 3 Pfund aufweist. Unter Verwendung der Ungleichung von Chebyshev wissen wir, dass mindestens 75% der von uns untersuchten Hunde Gewichte haben, die zwei Standardabweichungen vom Mittelwert sind. Die zweifache Standardabweichung ergibt 2 x 3=6. Subtrahieren und addieren Sie dies vom Mittelwert von 20. Dies zeigt, dass 75% der Hunde ein Gewicht von 14 bis 26 Pfund haben.

Verwendung der Ungleichung

Wenn wir mehr über die Verteilung wissen, mit der wir arbeiten, können wir normalerweise garantieren, dass mehr Daten eine bestimmte Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert abweichen. Wenn wir beispielsweise wissen, dass wir eine Normalverteilung haben, sind 95% der Daten zwei Standardabweichungen vom Mittelwert. Chebyshevs Ungleichung besagt, dass wir in dieser Situation wissen, dass mindestens 75% der Daten zwei Standardabweichungen vom Mittelwert sind. Wie wir in diesem Fall sehen können, könnte es viel mehr als diese 75% sein.

Der Wert der Ungleichung besteht darin, dass wir ein Szenario im „schlimmsten Fall“ erhalten, in dem das einzige, was wir über unsere Stichprobendaten (oder die Wahrscheinlichkeitsverteilung) wissen, der Mittelwert und die Standardabweichung sind. Wenn wir nichts anderes über unsere Daten wissen, bietet die Ungleichung von Chebyshev zusätzliche Einblicke in die Verteilung des Datensatzes.

Geschichte der Ungleichheit

Die Ungleichung ist nach dem russischen Mathematiker Pafnuty Chebyshev benannt, der die Ungleichung erstmals 1874 ohne Beweis feststellte. Zehn Jahre später wurde die Ungleichung von Markov in seiner Doktorarbeit bewiesen. Dissertation. Aufgrund der unterschiedlichen Darstellung des russischen Alphabets in Englisch wird Chebyshev auch als Tchebysheff geschrieben.

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