Mathematik

Koordinatengeometrie: Die kartesische Ebene

Die kartesische Ebene wird manchmal als xy-Ebene oder Koordinatenebene bezeichnet und zum Zeichnen von Datenpaaren in einem zweizeiligen Diagramm verwendet. Die kartesische Ebene ist nach dem Mathematiker Rene Descartes benannt, der ursprünglich das Konzept entwickelt hat. Kartesische Ebenen werden gebildet, indem sich zwei  senkrechte Zahlenlinien schneiden.

Punkte auf der kartesischen Ebene werden als „geordnete Paare“ bezeichnet, was bei der Veranschaulichung der Lösung von Gleichungen mit mehr als einem Datenpunkt äußerst wichtig wird. Einfach ausgedrückt besteht die kartesische Ebene jedoch nur aus zwei Zahlenlinien, wobei eine vertikal und die andere horizontal ist und beide rechtwinklig zueinander stehen.

Die horizontale Linie bezieht sich hier auf die x-Achse, und Werte, die in geordneten Paaren an erster Stelle stehen, werden entlang dieser Linie aufgezeichnet, während die vertikale Linie als y-Achse bezeichnet wird, wobei die zweite Anzahl geordneter Paare dargestellt wird. Eine einfache Möglichkeit, sich an die Reihenfolge der Operationen zu erinnern, besteht darin, von links nach rechts zu lesen. Die erste Zeile ist also die horizontale Linie oder die x-Achse, die auch alphabetisch an erster Stelle steht.

Quadranten und Verwendung kartesischer Flugzeuge

D. Russell

Da kartesische Ebenen aus zwei maßstabsgetreuen, maßstabsgetreuen Linien bestehen, ergibt das resultierende Bild ein Gitter, das in vier Abschnitte unterteilt ist, die als Quadranten bezeichnet werden. Diese vier Quadranten repräsentieren einen vollständigen Satz positiver Zahlen sowohl auf der x- als auch auf der y-Achse, wobei die positiven Richtungen nach oben und rechts verlaufen, während die  negativen Richtungen nach unten und links verlaufen.

Kartesische Ebenen werden daher verwendet, um die Lösungen für Formeln mit zwei vorhandenen Variablen darzustellen, die typischerweise durch x und y dargestellt werden, obwohl die x- und y-Achse durch andere Symbole ersetzt werden können, sofern sie ordnungsgemäß beschriftet sind und denselben Regeln folgen als x und y in der Funktion.

Diese visuellen Werkzeuge bieten den Schülern anhand dieser beiden Punkte, die für die Lösung der Gleichung verantwortlich sind, einen genauen Punkt.

Kartesisches Flugzeug und geordnete Paare

D. Russell

Die x-Koordinate ist immer die erste Zahl im Paar und die y-Koordinate ist immer die zweite Zahl im Paar. Der auf der kartesischen Ebene links dargestellte Punkt zeigt das folgende geordnete Paar: (4, -2) wobei der Punkt durch einen schwarzen Punkt dargestellt wird.

Daher ist (x, y)=(4, -2). Um die geordneten Paare zu identifizieren oder Punkte zu lokalisieren, beginnen Sie am Ursprung und zählen die Einheiten entlang jeder Achse. Dieser Punkt zeigt einen Schüler, der vier Klicks nach rechts und zwei Klicks nach unten gegangen ist.

Die Schüler können auch nach einer fehlenden Variablen suchen, wenn x oder y unbekannt sind, indem sie die Gleichung vereinfachen, bis beide Variablen eine Lösung haben und auf einer kartesischen Ebene dargestellt werden können. Dieser Prozess bildet die Grundlage für die meisten frühen algebraischen Berechnungen und Datenabbildungen.

Testen Sie Ihre Fähigkeit, Punkte geordneter Paare zu finden

D. Russell

Schauen Sie sich die kartesische Ebene links an und beachten Sie die vier Punkte, die auf dieser Ebene eingezeichnet wurden. Können Sie die geordneten Paare für die roten, grünen, blauen und violetten Punkte identifizieren? Nehmen Sie sich etwas Zeit und überprüfen Sie Ihre Antworten mit den unten aufgeführten richtigen Antworten:

Roter Punkt=(4, 2)
Grüner Punkt=(-5, +5)
Blauer Punkt=(-3, -3)
Lila Punkt=(+ 2, -6)

Diese geordneten Paare erinnern Sie möglicherweise ein wenig an das Schlachtschiff, bei dem die Spieler ihre Angriffe ausrufen müssen, indem sie geordnete Koordinatenpaare wie G6 auflisten, wobei Buchstaben entlang der horizontalen x-Achse und Zahlen entlang der vertikalen y-Achse liegen.

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