Mathematik

Berechnungen mit der Gammafunktion

Die Gammafunktion wird durch die folgende kompliziert aussehende Formel definiert:

Γ ( z )=∫ 0 e – t t z – 1 dt

Eine Frage, die Menschen haben, wenn sie zum ersten Mal auf diese verwirrende Gleichung stoßen, lautet: „Wie verwenden Sie diese Formel, um Werte der Gammafunktion zu berechnen?“ Dies ist eine wichtige Frage, da es schwierig ist zu wissen, was diese Funktion überhaupt bedeutet und wofür alle Symbole stehen.

Eine Möglichkeit, diese Frage zu beantworten, besteht darin, mehrere Beispielberechnungen mit der Gammafunktion zu betrachten. Bevor wir dies tun, müssen wir einige Dinge aus dem Kalkül wissen, wie man ein falsches Integral vom Typ I integriert, und dass e eine mathematische Konstante ist

Motivation

Bevor wir Berechnungen durchführen, untersuchen wir die Motivation hinter diesen Berechnungen. Oft tauchen die Gammafunktionen hinter den Kulissen auf. In Bezug auf die Gammafunktion werden mehrere Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen angegeben. Beispiele hierfür sind die Gammaverteilung und die T-Verteilung der Schüler. Die Bedeutung der Gammafunktion kann nicht überbewertet werden. 

Γ (1)

Die erste Beispielberechnung, die wir untersuchen werden, besteht darin, den Wert der Gammafunktion für Γ (1) zu ermitteln. Dies wird durch Setzen von z=1 in der obigen Formel gefunden:

0 e – t dt

Wir berechnen das obige Integral in zwei Schritten:

  • Das unbestimmte Integral ∫ e – t dt=- e – t + C.
  • Dies ist ein falsches Integral, also haben wir ∫ 0 e – t dt=lim b → ∞e – b + e 0=1

Γ (2)

Die nächste Beispielberechnung, die wir betrachten werden, ähnelt dem letzten Beispiel, aber wir erhöhen den Wert von z um 1. Wir berechnen nun den Wert der Gammafunktion für Γ (2), indem wir in der obigen Formel z=2 setzen. Die Schritte sind die gleichen wie oben:

Γ (2)=∫ 0 e – t t dt

Der unbestimmte Integral ∫ te – t dt=– te – t -e – t + C . Obwohl wir den Wert von z nur um 1 erhöht haben, erfordert die Berechnung dieses Integrals mehr Arbeit. Um dieses Integral zu finden, müssen wir eine Technik aus der Analysis verwenden, die als Teilintegration bekannt ist. Wir verwenden jetzt die Integrationsgrenzen wie oben und müssen Folgendes berechnen:

lim b → ∞ – sein – b – e – b0E 0 + e 0 .

Ein Ergebnis aus dem Kalkül, das als L’Hospital-Regel bekannt ist, ermöglicht es uns, die Grenze lim b → ∞ – be – b=0 zu berechnen . Dies bedeutet, dass der Wert unseres obigen Integrals 1 ist.

Γ ( z + 1)=z Γ ( z )

Ein weiteres Merkmal der Gammafunktion und eines, das sie mit der Fakultät verbindet, ist die Formel Γ ( z + 1)=z Γ ( z ) für z jede komplexe Zahl mit einem positiven Realteil. Der Grund, warum dies wahr ist, ist ein direktes Ergebnis der Formel für die Gammafunktion. Durch die Integration nach Teilen können wir diese Eigenschaft der Gammafunktion festlegen.

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