Wissenschaft

Berechnung des Drehmoments anhand von Beispielen

Wenn untersucht wird, wie sich Objekte drehen, muss schnell herausgefunden werden, wie eine bestimmte Kraft zu einer Änderung der Drehbewegung führt. Die Tendenz einer Kraft, eine Drehbewegung zu verursachen oder zu ändern, wird als Drehmoment bezeichnet und ist eines der wichtigsten Konzepte, die bei der Lösung von Drehbewegungssituationen zu verstehen sind.

Die Bedeutung des Drehmoments

Das Drehmoment (auch Moment genannt – meistens von Ingenieuren) wird durch Multiplikation von Kraft und Abstand berechnet. Die SI- Drehmomenteinheiten sind Newtonmeter oder N * m (obwohl diese Einheiten mit Joule identisch sind, ist das Drehmoment keine Arbeit oder Energie, sollte also nur Newtonmeter sein).

In Berechnungen wird das Drehmoment durch den griechischen Buchstaben tau: τ dargestellt .

Das Drehmoment ist eine Vektorgröße. dh es hat sowohl eine Richtung als auch eine Größe. Dies ist ehrlich gesagt einer der schwierigsten Teile beim Arbeiten mit Drehmoment, da es mit einem Vektorprodukt berechnet wird, was bedeutet, dass Sie die Rechtsregel anwenden müssen. Nehmen Sie in diesem Fall Ihre rechte Hand und drehen Sie die Finger Ihrer Hand in die durch die Kraft verursachte Drehrichtung. Der Daumen Ihrer rechten Hand zeigt jetzt in Richtung des Drehmomentvektors. (Dies kann sich gelegentlich etwas albern anfühlen, wenn Sie Ihre Hand hochhalten und pantomimieren, um das Ergebnis einer mathematischen Gleichung herauszufinden. Dies ist jedoch der beste Weg, um die Richtung des Vektors zu visualisieren.)

Die Vektorformel, die den Drehmomentvektor τ ergibt, lautet:

τ= r × F.

Der Vektor r ist der Positionsvektor in Bezug auf einen Ursprung auf der Rotationsachse (Diese Achse ist das τ in der Grafik). Dies ist ein Vektor mit einer Größe des Abstands, von dem aus die Kraft auf die Rotationsachse ausgeübt wird. Sie zeigt von der Drehachse auf den Punkt, an dem die Kraft ausgeübt wird.

Die Größe des Vektors wird basierend auf θ , der Winkeldifferenz zwischen r und F , unter Verwendung der folgenden Formel berechnet:

τ= rF sin ( θ )

Sonderfälle des Drehmoments

Einige wichtige Punkte zur obigen Gleichung mit einigen Benchmark-Werten von θ :

  • θ=0 ° (oder 0 Bogenmaß) – Der Kraftvektor zeigt in die gleiche Richtung wie r . Wie Sie vielleicht erraten haben, ist dies eine Situation, in der die Kraft keine Drehung um die Achse verursacht … und die Mathematik bestätigt dies. Da sin (0)=0 ist, führt diese Situation zu τ=0.
  • θ=180 ° (oder π Radiant) – Dies ist eine Situation, in der der Kraftvektor direkt in r zeigt . Auch hier führt das Schieben in Richtung der Rotationsachse zu keiner Rotation, und auch hier unterstützt die Mathematik diese Intuition. Da sin (180 °)=0 ist, ist der Wert des Drehmoments wieder τ=0.
  • θ=90 ° (oder π / 2 Bogenmaß) – Hier ist der Kraftvektor senkrecht zum Positionsvektor. Dies scheint der effektivste Weg zu sein, wie Sie auf das Objekt drücken können, um eine Erhöhung der Rotation zu erzielen. Aber unterstützt die Mathematik dies? Nun, sin (90 °)=1, was der Maximalwert ist, den die Sinusfunktion erreichen kann, was ein Ergebnis von τ=rF ergibt . Mit anderen Worten, eine Kraft, die in einem anderen Winkel ausgeübt wird, würde weniger Drehmoment liefern als wenn sie bei 90 Grad ausgeübt wird.
  • Das gleiche Argument wie oben gilt für Fälle von θ=-90 ° (oder – π / 2 Bogenmaß), jedoch mit einem Wert von sin (-90 °)=-1, was zu einem maximalen Drehmoment in der entgegengesetzten Richtung führt.

Beispiel für Drehmoment

Betrachten wir ein Beispiel, bei dem Sie eine vertikale Kraft nach unten ausüben, z. B. wenn Sie versuchen, die Radmuttern eines platten Reifens durch Treten auf den Radschlüssel zu lösen. In dieser Situation ist es ideal, den Radschlüssel perfekt horizontal zu halten, damit Sie auf das Ende treten und das maximale Drehmoment erzielen können. Das funktioniert leider nicht. Stattdessen passt der Radschlüssel so auf die Radmuttern, dass er um 15% zur Horizontalen geneigt ist. Der Radschlüssel ist bis zum Ende 0,60 m lang, wo Sie Ihr volles Gewicht von 900 N aufbringen.

Wie groß ist das Drehmoment?

Was ist mit der Richtung?: Wenn Sie die Regel „Lefty-Loosey, Righty-Tighty“ anwenden, möchten Sie, dass sich die Radmutter gegen den Uhrzeigersinn nach links dreht, um sie zu lösen. Mit der rechten Hand und den Fingern gegen den Uhrzeigersinn ragt der Daumen heraus. Die Richtung des Drehmoments ist also von den Reifen weg … das ist auch die Richtung, in die die Radmuttern letztendlich gehen sollen.

Um den Wert des Drehmoments berechnen zu können, müssen Sie feststellen, dass die obige Einstellung einen leicht irreführenden Punkt enthält. (Dies ist in diesen Situationen ein häufiges Problem.) Beachten Sie, dass die oben genannten 15% die Neigung zur Horizontalen sind, dies ist jedoch nicht der Winkel θ . Der Winkel zwischen r und F muss berechnet werden. Es gibt eine Neigung von 15 ° von der Horizontalen plus einen Abstand von 90 ° von der Horizontalen zum Abwärtskraftvektor, was insgesamt 105 ° als Wert von θ ergibt .

Dies ist die einzige Variable, die eingerichtet werden muss. Daher weisen wir nur die anderen Variablenwerte zu:

  • θ=105 °
  • r=0,60 m
  • F=900 N.

τ= rF sin ( θ )=
(0,60 m) (900 N) sin (105 °)=540 × 0,097 Nm=520 Nm

Beachten Sie, dass bei der obigen Antwort nur zwei signifikante Zahlen beibehalten wurden , sodass sie gerundet ist.

Drehmoment und Winkelbeschleunigung

Die obigen Gleichungen sind besonders hilfreich, wenn eine einzelne bekannte Kraft auf ein Objekt wirkt, aber es gibt viele Situationen, in denen eine Drehung durch eine Kraft verursacht werden kann, die nicht leicht gemessen werden kann (oder möglicherweise viele solcher Kräfte). Hier wird das Drehmoment häufig nicht direkt berechnet, sondern kann in Bezug auf die Gesamt berechnet wird Winkelbeschleunigung. α , daß das Objekt unterliegt. Diese Beziehung ist durch die folgende Gleichung gegeben:

  • Σ τ – Die Nettosumme aller auf das Objekt einwirkenden Drehmomente
  • I – das Trägheitsmoment. das den Widerstand des Objekts gegen eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit darstellt
  • α – Winkelbeschleunigung

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