Mathematik

Berechnung eines Konfidenzintervalls für einen Mittelwert

Inferenzstatistiken betreffen den Prozess, mit einer statistischen Stichprobe zu beginnen und dann zum Wert eines unbekannten Populationsparameters zu gelangen. Der unbekannte Wert wird nicht direkt ermittelt. Vielmehr erhalten wir eine Schätzung, die in einen Wertebereich fällt. Dieser Bereich ist mathematisch als Intervall reeller Zahlen bekannt und wird speziell als Konfidenzintervall bezeichnet .

Konfidenzintervalle sind sich in einigen Punkten ähnlich. Zweiseitige Konfidenzintervalle haben alle dieselbe Form:

Schätzung ± Fehlerquote

Ähnlichkeiten in Konfidenzintervallen erstrecken sich auch auf die Schritte zur Berechnung von Konfidenzintervallen. Wir werden untersuchen, wie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für einen Populationsmittelwert bestimmt wird, wenn die Populationsstandardabweichung unbekannt ist. Eine zugrunde liegende Annahme ist, dass wir Stichproben aus einer normalverteilten Population ziehen.

Prozess für das Konfidenzintervall für den Mittelwert mit einem unbekannten Sigma

Wir werden eine Liste von Schritten durcharbeiten, die erforderlich sind, um unser gewünschtes Konfidenzintervall zu finden. Obwohl alle Schritte wichtig sind, ist der erste besonders wichtig:

  1. Bedingungen prüfen : Stellen Sie zunächst sicher, dass die Bedingungen für unser Konfidenzintervall erfüllt sind. Wir gehen davon aus, dass der Wert der Populationsstandardabweichung, der mit dem griechischen Buchstaben Sigma σ bezeichnet wird, unbekannt ist und wir mit einer Normalverteilung arbeiten. Wir können die Annahme lockern, dass wir eine Normalverteilung haben, solange unsere Stichprobe groß genug ist und keine Ausreißer oder extreme Schiefe aufweist .
  2. Schätzung berechnen : Wir schätzen unseren Populationsparameter, in diesem Fall den Populationsmittelwert, mithilfe einer Statistik, in diesem Fall den Stichprobenmittelwert. Dies beinhaltet die Bildung einer einfachen Zufallsstichprobe aus unserer Bevölkerung. Manchmal können wir annehmen, dass unsere Stichprobe eine einfache Zufallsstichprobe ist. auch wenn sie nicht der strengen Definition entspricht.
  3. Kritischer Wert : Wir erhalten den kritischen Wert t * , der unserem Konfidenzniveau entspricht. Diese Werte werden anhand einer Tabelle mit T-Scores oder mithilfe der Software ermittelt. Wenn wir eine Tabelle verwenden, müssen wir die Anzahl der Freiheitsgrade kennen. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist eins weniger als die Anzahl der Personen in unserer Stichprobe.
  4. Fehlermarge : Berechnen Sie die Fehlerspanne t * s / √ n , wobei n die Größe der einfachen Stichprobe ist , dass wir sind , und s die Probe Standardabweichung. die wir von unserer statistischen Stichprobe erhalten.
  5. Fazit : Stellen Sie abschließend die Schätzung und die Fehlerquote zusammen. Dies kann entweder als Schätzung ± Fehlergrenze oder als Schätzung – Fehlergrenze bis Schätzung + Fehlergrenze ausgedrückt werden . In der Angabe unseres Konfidenzintervalls ist es wichtig, das Konfidenzniveau anzugeben. Dies ist ebenso Teil unseres Konfidenzintervalls wie Zahlen für die Schätzung und die Fehlerquote.

Beispiel

Um zu sehen, wie wir ein Konfidenzintervall erstellen können, werden wir ein Beispiel durcharbeiten. Angenommen, wir wissen, dass die Höhen einer bestimmten Art von Erbsenpflanzen normal verteilt sind. Eine einfache Zufallsstichprobe von 30 Erbsenpflanzen hat eine mittlere Höhe von 12 Zoll mit einer Standardabweichung der Stichprobe von 2 Zoll. Was ist ein 90% -Konfidenzintervall für die mittlere Höhe für die gesamte Population von Erbsenpflanzen?

Wir werden die oben beschriebenen Schritte durcharbeiten:

  1. Prüfbedingungen : Die Bedingungen wurden erfüllt, da die Populationsstandardabweichung unbekannt ist und es sich um eine Normalverteilung handelt.
  2. Schätzung berechnen : Uns wurde gesagt, dass wir eine einfache Zufallsstichprobe von 30 Erbsenpflanzen haben. Die mittlere Höhe für diese Probe beträgt 12 Zoll, dies ist also unsere Schätzung.
  3. Kritischer Wert : Unsere Stichprobe hat eine Größe von 30 und somit 29 Freiheitsgrade. Der kritische Wert für das Konfidenzniveau von 90% ist gegeben durch t *=1,699.
  4. Fehlerspanne : Nun verwenden wir die Fehlerspanne Formel und erhalten , die eine Fehlermarge von t * s / √ n 0,620=(1,699) (2) / √ (30) =.
  5. Beschließen Sie : Wir schließen daraus , indem sie alles zusammen setzen. Ein 90% -Konfidenzintervall für den mittleren Höhenwert der Bevölkerung beträgt 12 ± 0,62 Zoll. Alternativ könnten wir dieses Konfidenzintervall als 11,38 Zoll bis 12,62 Zoll angeben.

Praktische Überlegungen

Konfidenzintervalle des oben genannten Typs sind realistischer als andere Typen, die in einem Statistikkurs auftreten können. Es ist sehr selten, die Populationsstandardabweichung zu kennen, aber nicht den Populationsmittelwert. Hier nehmen wir an, dass wir keinen dieser Populationsparameter kennen.

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