Mathematik

So berechnen Sie die Varianz einer Poisson-Verteilung

Die Varianz einer Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein wichtiges Merkmal. Diese Zahl gibt die Streuung einer Verteilung an und wird durch Quadrieren der Standardabweichung ermittelt. Eine häufig verwendete diskrete Verteilung ist die der Poisson-Verteilung. Wir werden sehen, wie die Varianz der Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ berechnet wird.

Die Poisson-Verteilung

Poisson-Verteilungen werden verwendet, wenn wir ein Kontinuum haben und diskrete Änderungen innerhalb dieses Kontinuums zählen. Dies tritt auf, wenn wir die Anzahl der Personen berücksichtigen, die innerhalb einer Stunde an einem Kinokartenschalter ankommen, die Anzahl der Autos verfolgen, die mit einem Vier-Wege-Stopp durch eine Kreuzung fahren, oder die Anzahl der in einer Länge auftretenden Fehler zählen aus Draht.

Wenn wir in diesen Szenarien einige klarstellende Annahmen treffen, stimmen diese Situationen mit den Bedingungen für einen Poisson-Prozess überein. Wir sagen dann, dass die Zufallsvariable, die die Anzahl der Änderungen zählt, eine Poisson-Verteilung hat.

Die Poisson-Verteilung bezieht sich tatsächlich auf eine unendliche Familie von Verteilungen. Diese Verteilungen sind mit einem einzigen Parameter λ ausgestattet. Der Parameter ist eine positive reelle Zahl. die eng mit der erwarteten Anzahl der im Kontinuum beobachteten Änderungen zusammenhängt. Darüber hinaus werden wir sehen, dass dieser Parameter nicht nur dem Mittelwert der Verteilung, sondern auch der Varianz der Verteilung entspricht.

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine Poisson-Verteilung ist gegeben durch:

f ( x )=(λ x  e - λ ) / x !

In diesem Ausdruck ist der Buchstabe e eine Zahl und die mathematische Konstante mit einem Wert von ungefähr 2,718281828. Die Variable x kann eine beliebige nichtnegative Ganzzahl sein.

Berechnung der Varianz

Um den Mittelwert einer Poisson-Verteilung zu berechnen, verwenden wir die Momenterzeugungsfunktion dieser Verteilung . Wir sehen das:

M ( t )=E [ e tX ]=Σ e tX f ( x )=Σ e tX λ x  e - λ ) / x !

Wir erinnern uns jetzt an die Maclaurin-Serie für e u . Da jede Ableitung der Funktion e u ist e u , alle diese bei Null bewertet Derivate geben uns 1. Das Ergebnis ist die Serie e uu n / n !.

Durch die Verwendung der Maclaurin-Reihe für e u können wir die Momenterzeugungsfunktion nicht als Reihe, sondern in geschlossener Form ausdrücken. Wir kombinieren alle Terme mit dem Exponenten von x . Somit ist M ( t )=e & lgr; ( e t – 1) .

Wir finden nun die Varianz, indem wir die zweite Ableitung von M nehmen und diese bei Null bewerten. Da M ‚( t )=λ e t M ( t ) ist, verwenden wir die Produktregel, um die zweite Ableitung zu berechnen:

M '' ( t )=λ 2 e 2 t M '( t ) + λ e t M ( t )

Wir bewerten dies bei Null und stellen fest, dass M “ (0)=λ 2 + λ ist. Wir verwenden dann die Tatsache, dass M ‚(0)=λ, um die Varianz zu berechnen.

Var ( X )=λ 2 + λ - (λ) 2=λ.

Dies zeigt, dass der Parameter λ nicht nur der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist, sondern auch deren Varianz.

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