Mathematik

So berechnen Sie den Median der Exponentialverteilung

Der Median eines Datensatzes ist der Mittelpunkt, an dem genau die Hälfte der Datenwerte kleiner oder gleich dem Median ist. In ähnlicher Weise können wir über den Median einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung nachdenken , aber anstatt den Mittelwert in einem Datensatz zu finden, finden wir die Mitte der Verteilung auf andere Weise.

Die Gesamtfläche unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist 1, was 100% darstellt, und als Ergebnis kann die Hälfte davon durch die Hälfte oder 50% dargestellt werden. Eine der großen Ideen der mathematischen Statistik ist, dass die Wahrscheinlichkeit durch die Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion dargestellt wird, die durch ein Integral berechnet wird, und somit der Median einer kontinuierlichen Verteilung der Punkt auf der reellen Zahlenlinie ist. an dem genau die Hälfte liegt des Gebiets liegt auf der linken Seite.

Dies kann durch das folgende falsche Integral prägnanter ausgedrückt werden. Der Median der stetigen Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion f ( x ) ist der Wert M, so dass:

0.5=m– –f((x)dx0,5=\ int_ {m} ^ { – \ infty} f (x) dx

Median für die Exponentialverteilung

Wir berechnen nun den Median für die Exponentialverteilung Exp (A). Eine Zufallsvariable mit dieser Verteilung hat die Dichtefunktion f ( x )=e x / A / A für x jede nichtnegative reelle Zahl. Die Funktion enthält auch die mathematische Konstante e. die ungefähr 2,71828 entspricht.

Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für jeden negativen Wert von x Null ist , müssen wir nur Folgendes integrieren und nach M auflösen:

0,5=~ 0 M f (x) dx

Da das Integral ∫ e x / A / A d x=- e x / A ist , ist das Ergebnis das

0,5=-eM / A + 1

Dies bedeutet, dass 0,5=e -M / A und nachdem wir den natürlichen Logarithmus beider Seiten der Gleichung genommen haben, haben wir:

ln (1/2)=-M / A.

Da 1/2=2 -1 , schreiben wir durch Eigenschaften von Logarithmen:

- ln2=-M / A.

Das Multiplizieren beider Seiten mit A ergibt das Ergebnis, dass der Median M=A ln2 ist.

Median-Mean-Ungleichung in der Statistik 

Eine Konsequenz dieses Ergebnisses sollte erwähnt werden: Der Mittelwert der Exponentialverteilung Exp (A) ist A, und da ln2 kleiner als 1 ist, folgt, dass das Produkt Aln2 kleiner als A ist. Dies bedeutet, dass der Median der Exponentialverteilung ist ist kleiner als der Mittelwert.

Dies ist sinnvoll, wenn wir über den Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nachdenken. Aufgrund des langen Schwanzes ist diese Verteilung nach rechts geneigt. Wenn eine Verteilung nach rechts verschoben ist, befindet sich der Mittelwert häufig rechts vom Median.

Für die statistische Analyse bedeutet dies, dass wir häufig vorhersagen können, dass der Mittelwert und der Median nicht direkt korrelieren, da die Wahrscheinlichkeit besteht, dass die Daten nach rechts verschoben sind. Dies kann als Median-Mittelwert-Ungleichheitsbeweis ausgedrückt werden, der als Chebyshevs Ungleichung bekannt ist .

Stellen Sie sich als Beispiel einen Datensatz vor, der besagt, dass eine Person in 10 Stunden insgesamt 30 Besucher empfängt, wobei die durchschnittliche Wartezeit für einen Besucher 20 Minuten beträgt, während der Datensatz möglicherweise anzeigt, dass die mittlere Wartezeit irgendwo liegt zwischen 20 und 30 Minuten, wenn mehr als die Hälfte dieser Besucher in den ersten fünf Stunden kam.

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