Mathematik

Exponentieller Zerfall und prozentuale Veränderung

Wenn eine ursprüngliche Menge über einen bestimmten Zeitraum um eine konstante Rate reduziert wird, tritt ein exponentieller Abfall auf. Dieses Beispiel zeigt, wie ein konsistentes Ratenproblem bearbeitet oder der Abklingfaktor berechnet wird. Der Schlüssel zum Verständnis des Zerfallsfaktors liegt im Erlernen der prozentualen Veränderung .

Es folgt eine exponentielle Abklingfunktion:  

y=a (1 – b) x

wo:

  • „y“ ist der endgültige Betrag, der nach dem Zerfall über einen bestimmten Zeitraum verbleibt
  • „a“ ist der ursprüngliche Betrag
  • „x“ steht für Zeit
  • Der Abklingfaktor ist (1 – b).
  • Die Variable b ist die prozentuale Änderung in Dezimalform.

Da dies ein exponentieller Abklingfaktor ist, konzentriert sich dieser Artikel auf die prozentuale Abnahme.

Möglichkeiten, eine prozentuale Abnahme zu finden

Drei Beispiele veranschaulichen Möglichkeiten, um eine prozentuale Abnahme zu ermitteln:

Die prozentuale Abnahme wird in der Geschichte erwähnt

Griechenland ist einer enormen finanziellen Belastung ausgesetzt, weil es mehr Geld schuldet, als es zurückzahlen kann. Infolgedessen versucht die griechische Regierung, ihre Ausgaben zu reduzieren. Stellen Sie sich vor, ein Experte hat den griechischen Führern gesagt, dass sie die Ausgaben um 20 Prozent senken müssen.

  • Wie hoch ist der prozentuale Rückgang der griechischen Ausgaben b? 20 Prozent
  • Was ist der Verfallsfaktor der griechischen Ausgaben?

Zerfallsfaktor:

(1 – b)=(1 – .20)=(.80)

Die prozentuale Abnahme wird in einer Funktion ausgedrückt

Während Griechenland seine Staatsausgaben senkt , sagen Experten voraus, dass die Verschuldung des Landes sinken wird. Stellen Sie sich vor, die jährliche Verschuldung des Landes könnte durch diese Funktion modelliert werden: 

y=500 (1 – 0,30) x

Dabei bedeutet „y“ Milliarden von Dollar und „x“ die Anzahl der Jahre seit 2009.

  • Wie hoch ist der prozentuale Rückgang der jährlichen Schulden Griechenlands? 30 Prozent
  • Was ist der Zerfallsfaktor der jährlichen Verschuldung Griechenlands?

Zerfallsfaktor:

(1 – b)=(1 – .30)=.70

Die prozentuale Abnahme ist in einem Datensatz verborgen

Stellen Sie sich vor, dass diese Daten die projizierten jährlichen Schulden Griechenlands beschreiben, nachdem Griechenland die staatlichen Dienstleistungen und Gehälter gesenkt hat.

  • 2009: 500 Milliarden US-Dollar
  • 2010: 475 Milliarden US-Dollar
  • 2011: 451,25 Milliarden US-Dollar
  • 2012: 428,69 Milliarden US-Dollar

So berechnen Sie die prozentuale Abnahme

A. Wählen Sie zwei aufeinanderfolgende Jahre zum Vergleich aus: 2009: 500 Milliarden US-Dollar; 2010: 475 Milliarden US-Dollar

B. Verwenden Sie diese Formel:

Prozentuale Abnahme=(älter – neuer) / älter:

(500 Milliarden – 475 Milliarden) / 500 Milliarden=0,05 oder 5 Prozent

C. Auf Konsistenz prüfen. Wählen Sie zwei weitere aufeinanderfolgende Jahre aus: 2011: 451,25 Milliarden US-Dollar; 2012: 428,69 Milliarden US-Dollar

(451,25 – 428,69) / 451,25 beträgt ungefähr 0,05 oder 5 Prozent

Prozentualer Rückgang im wirklichen Leben

Salz ist der Glanz amerikanischer Gewürzregale. Glitter verwandelt Konstruktionspapier und grobe Zeichnungen in geschätzte Muttertagskarten. Salz verwandelt ansonsten milde Lebensmittel in nationale Favoriten. Die Fülle an Salz in Kartoffelchips, Popcorn und Pot Pie fasziniert die Geschmacksknospen.

Leider kann zu viel Geschmack eine gute Sache ruinieren. In den Händen schwerer Erwachsener kann überschüssiges Salz zu Bluthochdruck, Herzinfarkt und Schlaganfall führen. Kürzlich kündigte ein Gesetzgeber Gesetze an, die US-Bürger und Einwohner dazu zwingen würden, das von ihnen konsumierte Salz zu reduzieren. Was wäre, wenn das Salzreduktionsgesetz verabschiedet würde und die Amerikaner weniger Mineral verbrauchen würden?

Angenommen, die Restaurants wurden jedes Jahr beauftragt, den Natriumspiegel ab 2017 jährlich um 2,5 Prozent zu senken. Der prognostizierte Rückgang der Herzinfarkte kann durch die folgende Funktion beschrieben werden: 

y=10.000.000 (1 – .10) x

Dabei steht „y“ für die jährliche Anzahl von Herzinfarkten nach „x“ Jahren.

Anscheinend wäre die Gesetzgebung ihr Salz wert. Amerikaner würden mit weniger Schlaganfällen betroffen sein. Hier sind fiktive Projektionen für jährliche Schlaganfälle in Amerika:

  • 2016: 7.000.000 Schlaganfälle
  • 2017: 6.650.000 Schläge
  • 2018: 6.317.500 Schläge
  • 2019: 6.001.625 Schläge

Probefragen

Wie hoch ist der vorgeschriebene prozentuale Rückgang des Salzverbrauchs in Restaurants?

Antwort: 2,5 Prozent

Erklärung: Es wird vorausgesagt, dass drei verschiedene Dinge – Natriumspiegel, Herzinfarkt und Schlaganfall – abnehmen. Jedes Jahr mussten Restaurants den Natriumgehalt ab 2017 jährlich um 2,5 Prozent senken.

Was ist der vorgeschriebene Zerfallsfaktor für den Salzkonsum in Restaurants?

Antwort: .975

Erklärung: Zerfallsfaktor:

(1 – b)=(1 – 0,025)=0,975

Wie hoch wäre der prozentuale Rückgang bei jährlichen Herzinfarkten, basierend auf Vorhersagen?

Antwort: 10 Prozent

Erklärung: Der vorhergesagte Rückgang des Herzinfarkts kann durch die folgende Funktion beschrieben werden: 

y=10.000.000 (1 – .10) x

Dabei steht „y“ für die jährliche Anzahl von Herzinfarkten nach „x“  Jahren.

Was wird basierend auf Vorhersagen der Zerfallsfaktor für jährliche Herzinfarkte sein?

Antwort: .90

Erklärung: Zerfallsfaktor:

(1 – b)=(1 – .10)=.90

Wie hoch wird der prozentuale Rückgang der Schlaganfälle in Amerika sein, basierend auf diesen fiktiven Projektionen?

Antwort: 5 Prozent

Erläuterung:

A. Wählen Sie Daten für zwei aufeinanderfolgende Jahre: 2016: 7.000.000 Schlaganfälle; 2017: 6.650.000 Schläge

B. Verwenden Sie diese Formel: Prozentuale Abnahme=(älter – neuer) / älter

(7.000.000 – 6.650.000) / 7.000.000=0,05 oder 5 Prozent

C. Überprüfen Sie die Konsistenz und wählen Sie Daten für einen anderen Satz aufeinanderfolgender Jahre aus: 2018: 6.317.500 Striche; 2019: 6.001.625 Schläge

Prozentuale Abnahme=(älter – neuer) / älter

(6.317.500 – 6.001.625) / 6.001.625 ungefähr 0,05 oder 5 Prozent

Was wird auf der Grundlage dieser fiktiven Projektionen der Zerfallsfaktor für Schlaganfälle in Amerika sein?

Antwort: .95

Erklärung: Zerfallsfaktor:

(1 – b)=(1 – 0,05)=0,95

Herausgegeben von Anne Marie Helmenstine, Ph.D.

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