Mathematik

Berechnung der Backgammon-Wahrscheinlichkeiten

Backgammon ist ein Spiel, bei dem zwei Standardwürfel verwendet werden. Die in diesem Spiel verwendeten Würfel sind sechsseitige Würfel, und die Gesichter eines Würfels haben einen, zwei, drei, vier, fünf oder sechs Pips. Während eines Backgammon-Turns kann ein Spieler seine Steine ​​oder Entwürfe gemäß den auf den Würfeln angegebenen Zahlen bewegen. Die gewürfelten Zahlen können auf zwei Prüfer aufgeteilt werden oder sie können summiert und für einen einzelnen Prüfer verwendet werden. Wenn beispielsweise eine 4 und eine 5 gewürfelt werden, hat ein Spieler zwei Möglichkeiten: Er kann einen Stein vier Felder und einen weiteren fünf Felder bewegen, oder ein Stein kann insgesamt neun Felder bewegen.

Um Strategien im Backgammon zu formulieren, ist es hilfreich, einige grundlegende Wahrscheinlichkeiten zu kennen. Da ein Spieler einen oder zwei Würfel verwenden kann, um einen bestimmten Stein zu bewegen, wird dies bei jeder Berechnung der Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt. Für unsere Backgammon-Wahrscheinlichkeiten beantworten wir die Frage: „Wenn wir zwei Würfel werfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl n entweder als Summe von zwei Würfeln oder auf mindestens einem der beiden Würfel gewürfelt wird?“

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten

Bei einem einzelnen Würfel, der nicht geladen ist, ist es gleich wahrscheinlich, dass jede Seite mit der Vorderseite nach oben landet. Ein einzelner Chip bildet einen einheitlichen Probenraum. Es gibt insgesamt sechs Ergebnisse, die jeder der ganzen Zahlen von 1 bis 6 entsprechen. Somit hat jede Zahl eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 des Auftretens.

Wenn wir zwei Würfel werfen, ist jeder Würfel unabhängig vom anderen. Wenn wir die Reihenfolge verfolgen, in der die Anzahl der Würfel auf jedem Würfel liegt, ergeben sich insgesamt 6 x 6=36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Somit ist 36 der Nenner für alle unsere Wahrscheinlichkeiten und jedes bestimmte Ergebnis von zwei Würfeln hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.

Mindestens eine Nummer rollen

Die Wahrscheinlichkeit, zwei Würfel zu werfen und mindestens einen von einer Zahl von 1 bis 6 zu erhalten, ist einfach zu berechnen. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen möchten, mindestens eine 2 mit zwei Würfeln zu würfeln, müssen wir wissen, wie viele der 36 möglichen Ergebnisse mindestens eine 2 enthalten.

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2 , 4), (2, 5), (2, 6)

Somit gibt es 11 Möglichkeiten, mindestens eine 2 mit zwei Würfeln zu würfeln, und die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 2 mit zwei Würfeln zu würfeln, beträgt 11/36.

2 in der vorhergehenden Diskussion hat nichts Besonderes. Für jede gegebene Zahl n von 1 bis 6:

  • Es gibt fünf Möglichkeiten, genau eine dieser Zahlen beim ersten Würfel zu würfeln.
  • Es gibt fünf Möglichkeiten, genau eine dieser Zahlen auf dem zweiten Würfel zu würfeln.
  • Es gibt eine Möglichkeit, diese Zahl auf beiden Würfeln zu würfeln.

Daher gibt es 11 Möglichkeiten, mit zwei Würfeln mindestens ein n von 1 auf 6 zu würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei 11/36.

Eine bestimmte Summe rollen

Eine beliebige Zahl von zwei bis 12 kann als Summe von zwei Würfeln erhalten werden. Die Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfel sind etwas schwieriger zu berechnen. Da es verschiedene Wege gibt, diese Summen zu erreichen, bilden sie keinen einheitlichen Probenraum. Zum Beispiel gibt es drei Möglichkeiten, eine Summe von vier zu würfeln: (1, 3), (2, 2), (3, 1), aber nur zwei Möglichkeiten, eine Summe von 11 zu würfeln: (5, 6), ( 6, 5).

Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe einer bestimmten Zahl zu würfeln, ist wie folgt:

  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von zwei zu würfeln, beträgt 1/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von drei zu würfeln, beträgt 2/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von vier zu würfeln, beträgt 3/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von fünf zu würfeln, beträgt 4/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von sechs zu würfeln, beträgt 5/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von sieben zu würfeln, beträgt 6/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von acht zu würfeln, beträgt 5/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von neun zu würfeln, beträgt 4/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von zehn zu würfeln, beträgt 3/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von elf zu würfeln, beträgt 2/36.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von zwölf zu würfeln, beträgt 1/36.

Backgammon-Wahrscheinlichkeiten

Endlich haben wir alles, was wir brauchen, um die Wahrscheinlichkeiten für Backgammon zu berechnen. Das Würfeln mindestens einer Zahl schließt sich gegenseitig aus, wenn diese Zahl als Summe von zwei Würfeln gewürfelt wird. Daher können wir die Additionsregel verwenden. um die Wahrscheinlichkeiten zu addieren, um eine beliebige Zahl von 2 bis 6 zu erhalten.

Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 von zwei Würfeln zu werfen, 11/36. Eine 6 als Summe von zwei Würfeln zu würfeln ist 5/36. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 oder eine Sechs als Summe von zwei Würfeln zu würfeln, beträgt 11/36 + 5/36=16/36. Andere Wahrscheinlichkeiten können auf ähnliche Weise berechnet werden.

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