Mathematik

Konfidenzintervall für einen Mittelwert, wenn wir Sigma kennen

In der Inferenzstatistik besteht eines der Hauptziele darin, einen unbekannten  Populationsparameter zu  schätzen. Sie beginnen mit einer statistischen Stichprobe und können daraus einen Wertebereich für den Parameter bestimmen. Dieser Wertebereich wird als Konfidenzintervall bezeichnet .

Vertrauensintervalle

Konfidenzintervalle sind sich in einigen Punkten ähnlich. Erstens haben viele zweiseitige Konfidenzintervalle dieselbe Form:

Schätzung ± Fehlerquote

Zweitens sind die Schritte zum Berechnen von Konfidenzintervallen sehr ähnlich, unabhängig von der Art des Konfidenzintervalls, das Sie suchen. Die spezifische Art des Konfidenzintervalls , das im Folgenden untersucht wird , ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall für eine Bevölkerung meinen , wenn man die Bevölkerung weiß Standardabweichung. Nehmen Sie außerdem an, dass Sie mit einer normal verteilten Bevölkerung arbeiten .

Konfidenzintervall für einen Mittelwert mit einem bekannten Sigma

Im Folgenden finden Sie einen Prozess zum Ermitteln des gewünschten Konfidenzintervalls. Obwohl alle Schritte wichtig sind, ist der erste besonders wichtig:

  1. Bedingungen überprüfen : Stellen Sie zunächst sicher, dass die Bedingungen für Ihr Konfidenzintervall erfüllt sind. Angenommen, Sie kennen den Wert der Populationsstandardabweichung, der mit dem griechischen Buchstaben Sigma σ bezeichnet wird. Nehmen Sie auch eine Normalverteilung an.
  2. Schätzung berechnen : Schätzen Sie den Populationsparameter – in diesem Fall den Populationsmittelwert – mithilfe einer Statistik, die in diesem Problem der Stichprobenmittelwert ist. Dies beinhaltet die Bildung einer einfachen Zufallsstichprobe aus der Bevölkerung. Manchmal können Sie annehmen, dass Ihre Stichprobe eine einfache Zufallsstichprobe ist. auch wenn sie nicht der strengen Definition entspricht.
  3. Kritischer Wert : Ermitteln Sie den kritischen Wert z * , der Ihrem Konfidenzniveau entspricht. Diese Werte werden anhand einer Tabelle mit Z-Scores oder mithilfe der Software ermittelt. Sie können eine Z-Score-Tabelle verwenden, da Sie den Wert der Populationsstandardabweichung kennen und davon ausgehen, dass die Population normal verteilt ist. Übliche kritische Werte sind 1,645 für ein Konfidenzniveau von 90 Prozent, 1,960 für ein Konfidenzniveau von 95 Prozent und 2,576 für ein Konfidenzniveau von 99 Prozent.
  4. Fehlergrenze : Berechnen Sie die Fehlergrenze z * σ / √ n , wobei n die Größe der einfachen Zufallsstichprobe ist, die Sie gebildet haben.
  5. Fazit : Stellen Sie abschließend die Schätzung und die Fehlerquote zusammen. Dies kann entweder als Schätzung ± Fehlergrenze oder als Schätzung – Fehlergrenze bis Schätzung + Fehlergrenze ausgedrückt werden . Stellen Sie sicher, dass Sie das Vertrauensniveau. das mit Ihrem Konfidenzintervall verbunden ist , klar angeben.

Beispiel

Um zu sehen, wie Sie ein Konfidenzintervall erstellen können, arbeiten Sie ein Beispiel durch. Angenommen, Sie wissen, dass die IQ-Werte aller ankommenden Studienanfänger normalerweise mit einer Standardabweichung von 15 verteilt sind. Sie haben eine einfache Zufallsstichprobe von 100 Studienanfängern, und der mittlere IQ-Wert für diese Stichprobe beträgt 120. Suchen Sie ein 90-Prozent-Konfidenzintervall für der mittlere IQ-Wert für die gesamte Bevölkerung der ankommenden Studienanfänger.

Arbeiten Sie die oben beschriebenen Schritte aus:

  1. Prüfbedingungen : Die Bedingungen wurden erfüllt, seit Ihnen mitgeteilt wurde, dass die Populationsstandardabweichung 15 beträgt und es sich um eine Normalverteilung handelt.
  2. Schätzung berechnen : Ihnen wurde mitgeteilt, dass Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe 100 haben. Der mittlere IQ für diese Stichprobe beträgt 120, dies ist also Ihre Schätzung.
  3. Kritischer Wert : Der kritische Wert für das Konfidenzniveau von 90 Prozent ist gegeben durch z *=1,645.
  4. Fehlergrenze : Verwenden Sie die Fehlergrenze-Formel und erhalten Sie einen Fehler von  z * σ / √ n=(1.645) (15) / √ (100)=2.467.
  5. Schließen : Schließen Sie, indem Sie alles zusammenfügen. Ein 90-Prozent-Konfidenzintervall für den mittleren IQ-Wert der Bevölkerung beträgt 120 ± 2,467. Alternativ können Sie dieses Konfidenzintervall als 117,5325 bis 122,4675 angeben.

Praktische Überlegungen

Konfidenzintervalle des obigen Typs sind nicht sehr realistisch. Es ist sehr selten, die Populationsstandardabweichung zu kennen, aber nicht den Populationsmittelwert. Es gibt Möglichkeiten, wie diese unrealistische Annahme beseitigt werden kann.

Während Sie eine Normalverteilung angenommen haben, muss diese Annahme nicht gelten. Mit schönen Stichproben, die keine starke Schiefe aufweisen oder Ausreißer aufweisen, sowie einer ausreichend großen Stichprobengröße können Sie den zentralen Grenzwertsatz aufrufen . Infolgedessen ist es gerechtfertigt, eine Tabelle mit Z-Scores zu verwenden, selbst für Populationen, die nicht normal verteilt sind.

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