Mathematik

Binomialtabelle für n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 und n = 6

Eine wichtige diskrete Zufallsvariable ist eine binomische Zufallsvariable. Die Verteilung dieses Variablentyps, die als Binomialverteilung bezeichnet wird, wird vollständig durch zwei Parameter bestimmt: und p.  Hier ist n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit. Die folgenden Tabellen gelten für n=2, 3, 4, 5 und 6. Die Wahrscheinlichkeiten in jeder Tabelle werden auf drei Dezimalstellen gerundet.

Bevor Sie die Tabelle verwenden, müssen Sie festlegen, ob eine Binomialverteilung verwendet werden soll. Um diese Art der Verteilung verwenden zu können, müssen wir sicherstellen, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Wir haben eine begrenzte Anzahl von Beobachtungen oder Versuchen.
  2. Das Ergebnis des Unterrichtsversuchs kann entweder als Erfolg oder als Misserfolg eingestuft werden.
  3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt konstant.
  4. Die Beobachtungen sind unabhängig voneinander.

Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit von r Erfolgen in einem Experiment mit insgesamt n unabhängigen Versuchen an, von denen jeder die Erfolgswahrscheinlichkeit p aufweist . Wahrscheinlichkeiten werden nach der Formel C ( n , r ) p r (1 – p ) nr berechnet, wobei C ( n , r ) die Formel für Kombinationen ist .

Jeder Eintrag in der Tabelle ist nach den Werten von p und von r angeordnet.  Für jeden Wert von n gibt es eine andere Tabelle

Andere Tabellen

Für andere Binomialverteilungstabellen: n=7 bis 9. n=10 bis 11. Für Situationen, in denen np  und n (1 – p ) größer oder gleich 10 sind, können wir die normale Annäherung an die Binomialverteilung verwenden. In diesem Fall ist die Approximation sehr gut und erfordert keine Berechnung von Binomialkoeffizienten. Dies bietet einen großen Vorteil, da diese Binomialberechnungen sehr aufwändig sein können.

Beispiel

Um zu sehen, wie die Tabelle verwendet wird, betrachten wir das folgende Beispiel aus der Genetik. Angenommen, wir sind daran interessiert, die Nachkommen zweier Eltern zu untersuchen, von denen wir wissen, dass beide ein rezessives und dominantes Gen haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nachwuchs zwei Kopien des rezessiven Gens erbt (und daher das rezessive Merkmal aufweist), beträgt 1/4. 

Angenommen, wir möchten die Wahrscheinlichkeit berücksichtigen, dass eine bestimmte Anzahl von Kindern in einer sechsköpfigen Familie dieses Merkmal besitzt. Sei X die Anzahl der Kinder mit diesem Merkmal. Wir betrachten die Tabelle für n=6 und die Spalte mit p=0,25 und sehen Folgendes:

0,178, 0,356, 0,297, 0,132, 0,033, 0,004, 0,000

Dies bedeutet für unser Beispiel, dass

  • P (X=0)=17,8%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass keines der Kinder das rezessive Merkmal hat.
  • P (X=1)=35,6%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass eines der Kinder das rezessive Merkmal hat.
  • P (X=2)=29,7%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei der Kinder das rezessive Merkmal haben.
  • P (X=3)=13,2%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass drei der Kinder das rezessive Merkmal haben.
  • P (X=4)=3,3%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass vier der Kinder das rezessive Merkmal haben.
  • P (X=5)=0,4%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass fünf der Kinder das rezessive Merkmal haben.

Tabellen für n=2 bis n=6

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

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