Mathematik

Glockenkurve und Normalverteilungsdefinition

Der Begriff Glockenkurve wird verwendet, um das mathematische Konzept zu beschreiben, das als Normalverteilung bezeichnet wird und manchmal als Gaußsche Verteilung bezeichnet wird. „Glockenkurve“ bezieht sich auf die Glockenform, die erstellt wird, wenn eine Linie unter Verwendung der Datenpunkte für ein Element gezeichnet wird, das die Kriterien der Normalverteilung erfüllt.

In einer Glockenkurve enthält die Mitte die größte Zahl eines Wertes und ist daher der höchste Punkt auf dem Linienbogen. Dieser Punkt wird auf den Mittelwert bezogen, aber in einfachen Worten ist es die höchste Anzahl von Vorkommen eines Elements (in statistischen Begriffen der Modus).

Normalverteilung

Das Wichtigste bei einer Normalverteilung ist, dass die Kurve in der Mitte konzentriert ist und auf beiden Seiten abnimmt. Dies ist insofern von Bedeutung, als die Daten im Vergleich zu anderen Verteilungen weniger dazu neigen, ungewöhnlich extreme Werte, sogenannte Ausreißer, zu erzeugen. Die Glockenkurve zeigt auch an, dass die Daten symmetrisch sind. Dies bedeutet, dass Sie vernünftige Erwartungen hinsichtlich der Möglichkeit schaffen können, dass ein Ergebnis in einem Bereich links oder rechts von der Mitte liegt, sobald Sie den in den Daten enthaltenen Abweichungsbetrag gemessen haben. Dies wird anhand von Standardabweichungen gemessen .

Ein Glockenkurvendiagramm hängt von zwei Faktoren ab: dem Mittelwert und der Standardabweichung. Der Mittelwert gibt die Position des Zentrums an und die Standardabweichung bestimmt die Höhe und Breite der Glocke. Beispielsweise erzeugt eine große Standardabweichung eine Glocke, die kurz und breit ist, während eine kleine Standardabweichung eine große und schmale Kurve erzeugt.

Glockenkurvenwahrscheinlichkeit und Standardabweichung

Um die Wahrscheinlichkeitsfaktoren einer Normalverteilung zu verstehen, müssen Sie die folgenden Regeln verstehen:

  1. Die Gesamtfläche unter der Kurve beträgt 1 (100%)
  2. Etwa 68% der Fläche unter der Kurve liegen innerhalb einer Standardabweichung.
  3. Etwa 95% der Fläche unter der Kurve liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen.
  4. Etwa 99,7% der Fläche unter der Kurve liegen innerhalb von drei Standardabweichungen.

Die obigen Punkte 2, 3 und 4 werden manchmal als empirische Regel oder 68–95–99,7-Regel bezeichnet. Sobald Sie festgestellt haben, dass die Daten normal verteilt sind ( Glocke gekrümmt. und den Mittelwert und die Standardabweichung berechnen. können Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein einzelner Datenpunkt in einen bestimmten Bereich von Möglichkeiten fällt.

Beispiel für eine Glockenkurve

Ein gutes Beispiel für eine Glockenkurve oder Normalverteilung ist das Würfeln mit zwei Würfeln. Die Verteilung ist um die Zahl sieben zentriert und die Wahrscheinlichkeit nimmt ab, wenn Sie sich von der Mitte entfernen.

Hier ist die prozentuale Chance der verschiedenen Ergebnisse, wenn Sie zwei Würfel werfen.

  • Zwei: (1/36) 2,78%
  • Drei: (2/36) 5,56%
  • Vier: (3/36) 8,33%
  • Fünf: (4/36) 11,11%
  • Sechs: (5/36) 13,89%
  • Sieben: (6/36) 16,67%=wahrscheinlichstes Ergebnis
  • Acht: (5/36) 13,89%
  • Neun: (4/36) 11,11%
  • Zehn: (3/36) 8,33%
  • Elf: (2/36) 5,56%
  • Zwölf: (1/36) 2,78%

Normalverteilungen haben viele bequeme Eigenschaften, so dass in vielen Fällen, insbesondere in der Physik und Astronomie. zufällige Variationen mit unbekannten Verteilungen häufig als normal angenommen werden, um Wahrscheinlichkeitsberechnungen zu ermöglichen. Obwohl dies eine gefährliche Annahme sein kann, ist es aufgrund eines überraschenden Ergebnisses, das als zentraler Grenzwertsatz bekannt ist, oft eine gute Annäherung .

Dieser Satz besagt, dass der Mittelwert einer beliebigen Menge von Varianten mit einer Verteilung mit einem endlichen Mittelwert und einer endlichen Varianz dazu neigt, in einer Normalverteilung aufzutreten. Viele gängige Attribute wie Testergebnisse oder Körpergröße folgen ungefähr normalen Verteilungen, mit wenigen Mitgliedern am oberen und unteren Ende und vielen in der Mitte.

Wenn Sie die Glockenkurve nicht verwenden sollten

Es gibt einige Datentypen, die keinem normalen Verteilungsmuster folgen. Diese Datensätze sollten nicht gezwungen werden, eine Glockenkurve anzupassen. Ein klassisches Beispiel wären die Noten der Schüler, die häufig zwei Modi haben. Andere Arten von Daten, die nicht der Kurve folgen, sind Einkommen, Bevölkerungswachstum und mechanische Ausfälle.

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